損益分岐点 - データサイエンス関連+αのメモ

損益分岐点（breakeven point）は利益がゼロの売上水準

損益分岐点¶

利益 := 売上 - 費用

と定義されるため、利益がゼロのときは 売上=費用 で、費用を分解すると

売上=固定費+変動費

ここで

単価を $p$ 、販売数量を $Q$ 、単位あたり変動費を $c_V$ 、固定費を $C_F$ とすると

\begin{aligned} 売上 &= 固定費+変動費\\ \iff pQ &= C_F + c_V Q \end{aligned}

販売数量 $Q$ について解くと

\begin{aligned} p Q - c_V Q &= C_F\\ (p - c_V) Q &= C_F\\ Q &= \frac{C_F}{p - c_V} = \frac{\text{固定費}}{\text{限界利益}} \end{aligned}

限界利益が $p-c_V$ なので限界利益率は $\frac{ p-c_V }{p}$ となる。そのため上の式の両辺に $p$ をかければ

\begin{aligned} pQ &= \frac{C_F}{p - c_V} p = C_F / \frac{p - c_V}{p} \\ \iff 売上 &= \frac{固定費}{限界利益率} \end{aligned}

ARPA（契約あたり売上；単価）とLTV（顧客生涯価値）とCAC（顧客獲得コスト）

L T V=\frac{A R P A \times \text { 粗利率 }}{\text { 解約率 }} \\ C A C=\frac{\text { Sales }+ \text { Marketing }}{\text { 新規顧客数 }}

から

LTV = CAC

が損益分岐点

（ $LTV / CAC \geq 3$ が健全とされる）

例

年収900万円の営業1人+広告費100万円/年かけて年間10件成約する（=CACが100万円の）toB SaaSで、粗利率10%、解約率（チャーンレート）が10%とする

もしARPAが100万円なら、

L T V=\frac{A R P A \times \text { 粗利率 }}{\text { 解約率 }} =\frac{100万円 \times 0.9}{0.1} = 900万円

で、 $LTV/CAC = 9$ なので健全

もしARPAが30万円なら

L T V=\frac{A R P A \times \text { 粗利率 }}{\text { 解約率 }} =\frac{30万円 \times 0.9}{0.1} = 270万円

$LTV/CAC = 2.7$ なので非常に厳しい経営状態になる

粗利は売上から原価を抜いたものなので、 $粗利:=売上-変動費$ になる。

変動費が売上に比例する（ $変動費 := v \times 売上$ ）とした場合、

売上 = 固定費 + v \times 売上

これを解くと

売上 - v \times 売上 = 固定費\\ (1 - v) \times 売上 = 固定費\\ 売上 = \frac{固定費}{1 - v}\\

となる。

なお $1 - v$ は粗利率を意味する：

粗利:=売上-変動費\\ \iff 粗利 = 売上 - v \times 売上\\ \iff 粗利 = (1 - v) \times 売上\\ \iff 1 - v = \frac{粗利}{売上} = 粗利率\\

利益が出る売上は

固定費が3000万円、粗利率が10%としたとき

損益分岐売上 = \frac{3000万円}{0.9} = 3333万円

自動車部品業界のtier 1のように企業数が少ない狭めの業界を対象とした BtoB SaaSの場合、例えば100社に導入することを仮定すると、1社あたりの損益分岐売上（=SaaSの損益分岐単価）は

損益分岐単価 = \frac{3333万円}{100} = 33.3万円