VAR-LiNGAM - データサイエンス関連+αのメモ

LiNGAMにVAR（Vector Autoregression）モデルを組み合わせて時系列に拡張したもの。LiNGAMと同様な仮定を置いている。

仮定

通常の VAR は「過去が未来を予測できるか」というグレンジャー因果性（Granger causality）に基づくが、

という制約がある。VAR-LiNGAM はこれに対し、

を同一モデル内で明示的に推定する。

VARモデルについて¶

変数が $n$ 次元、ラグの次数が $p$ だとする。（例えば時点 $t$ の観測値は $x_{1,t}, x_{2,t}, \dots, x_{n,t}$ となる。）

VAR( $p$ ) では、各変数 $x_{i,t}$ は、すべての変数の過去 $p$ 期分の線形結合で表される。

VAR(

p

)

x_{i,t} = \sum_{k=1}^{p} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}^{(k)} \, x_{j,t-k} + \varepsilon_{i,t} \quad (i = 1,\dots,n)

状態ベクトル $\mathbf{x}_t \in \mathbb{R}^n$ 、ラグ $k$ の係数行列 $\mathbf{A}_k \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 、誤差ベクトル $\boldsymbol{\varepsilon}_t$ をそれぞれ

\mathbf{x}_t = \begin{pmatrix} x_{1,t} \\ x_{2,t} \\ \vdots \\ x_{n,t} \end{pmatrix} ,\quad \mathbf{A}_k = \begin{pmatrix} a_{11}^{(k)} & a_{12}^{(k)} & \cdots & a_{1n}^{(k)} \\ a_{21}^{(k)} & a_{22}^{(k)} & \cdots & a_{2n}^{(k)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}^{(k)} & a_{n2}^{(k)} & \cdots & a_{nn}^{(k)} \end{pmatrix} ,\quad \boldsymbol{\varepsilon}_t = \begin{pmatrix} \varepsilon_{1,t} \\ \varepsilon_{2,t} \\ \vdots \\ \varepsilon_{n,t} \end{pmatrix}

とおくと、VAR( $p$ ) は次のように表現できる。

VAR(

p

) （行列を使った表現）

\mathbf{x}_t = \sum_{k=1}^{p} \mathbf{A}_k \mathbf{x}_{t-k} + \boldsymbol{\varepsilon}_t

※切片を含めた表現もされる

\mathbf{x}_t = \mathbf{c} + \sum_{k=1}^{p} \mathbf{A}_k \mathbf{x}_{t-k} + \boldsymbol{\varepsilon}_t

$p$ 次元の時系列 $\mathbf{x}_t$ に対し、VAR-LiNGAM は以下を仮定する。

\mathbf{x}_t = \mathbf{B}_0 \mathbf{x}_t + \sum_{k=1}^{K} \mathbf{B}_k \mathbf{x}_{t-k} + \mathbf{e}_t

(\mathbf{I} - \mathbf{B}_0)\mathbf{x}_t = \sum_{k=1}^{K} \mathbf{B}_k \mathbf{x}_{t-k} + \mathbf{e}_t

$\mathbf{I} - \mathbf{B}_0$ は、変数の並び替えにより下三角行列にできる（＝因果順序が存在）ことが仮定される。

VAR-LiNGAM は 2段階推定で実装されることが多い。

通常の VAR を推定する。

\mathbf{x}_t = \sum_{k=1}^{K} \mathbf{A}_k \mathbf{x}_{t-k} + \mathbf{r}_t

を推定する。

LiNGAMパッケージにVARLiNGAMが実装されている