観察データから結果変数Y Y Y X X X U U U
import graphviz
graphviz.Source("""
digraph g {
graph [rankdir = TB];
node[shape = circle];
X [label=<<I>X</I>>]
Y [label=<<I>Y</I>>]
U [label=<<B><I>U</I></B>>]
edge [];
X -> Y
U -> {X,Y}
{rank = max U}
{rank = same X;Y}
}
""")他の変数から独立して処置X X X Y Y Y Z Z Z X → Y X\to Y X → Y Z Z Z 操作変数 （instrmental variable: IV）と呼ぶ。
import graphviz
graphviz.Source("""
digraph g {
graph [rankdir = TB];
node[shape = circle];
X [label=<<I>X</I>>]
Y [label=<<I>Y</I>>]
Z [label=<<I>Z</I>>]
U [label=<<B><I>U</I></B>>]
edge [];
Z -> X -> Y
U -> {X,Y}
{rank = max U}
{rank = same Z;X;Y}
}
""")操作変数法の推定方法 ¶ 2つの方法がある
Z → Y Z \to Y Z → Y Z → X Z\to X Z → X
二段階最小二乗法
どちらのアプローチでも同じ推定結果を得ることができる。
import graphviz
graphviz.Source("""
digraph g {
graph [rankdir = TB];
node[shape = circle];
X [label=<<I>X</I>>]
Y [label=<<I>Y</I>>]
Z [label=<<I>Z</I>>]
U [label=<<B><I>U</I></B>>]
edge [];
Z -> X [label=<<I>γ</I>=2>]
X -> Y [label=<<I>β</I>=4>]
U -> {X,Y}
{rank = max U}
{rank = same Z;X;Y}
}
""")import numpy as np
import pandas as pd
gamma = 2
beta = 4
n = 500
np.random.seed(0)
u = np.random.uniform(low=0, high=1, size=n)
z = np.random.uniform(low=-1, high=1, size=n)
x = 10 + gamma * z + 5 * u + np.random.normal(size=n)
y = 5 + beta * x + 5 * u + np.random.normal(scale=2, size=n)
df = pd.DataFrame(dict(y=y, x=x, z=z, u=u))
df.round(1).head()import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.pairplot(df)
plt.show()そのまま推定した場合 ¶ 次のような単回帰モデルを考える
Y = β 0 + β 1 X + ε Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon Y = β 0 + β 1 X + ε 説明変数はX X X E [ ε ] = 0 E[\varepsilon]= 0 E [ ε ] = 0
回帰係数β 0 , β 1 \beta_0, \beta_1 β 0 , β 1
説明変数が外生変数であるときE [ X ε ] = C o v ( X , ε ) = 0 E[X \varepsilon]=Cov(X, \varepsilon)=0 E [ Xε ] = C o v ( X , ε ) = 0
β 1 = C o v ( X , Y ) V a r ( X ) (1) \beta_1 = \frac{Cov(X, Y)}{Var(X)} \tag{1} β 1 = Va r ( X ) C o v ( X , Y ) ( 1 ) となる。
説明変数が内生変数である場合、
E [ X ε ] = C o v ( X , ε ) ≠ 0 E[X \varepsilon] = Cov(X, \varepsilon) \neq 0 E [ Xε ] = C o v ( X , ε ) = 0 から
C o v ( X , Y ) = V a r ( X ) β 1 + C o v ( X , ε ) Cov(X, Y) = Var(X) \beta_1 + Cov(X, \varepsilon) C o v ( X , Y ) = Va r ( X ) β 1 + C o v ( X , ε ) から、( 1 ) (1) ( 1 )
β 1 + C o v ( X , ε ) V a r ( X ) ⏟ 内生変数バイアス ≠ β 1 \beta_1 +
\underbrace{ \frac{Cov(X, \varepsilon)}{Var(X)} }_{内生変数バイアス} \neq \beta_1 β 1 + 内生変数バイアス Va r ( X ) C o v ( X , ε ) = β 1 となる
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
from stargazer.stargazer import Stargazer
models = [
smf.ols('y ~ x', data=df).fit(),
smf.ols('y ~ x + z', data=df).fit(),
smf.ols('y ~ x + u', data=df).fit(),
]
Stargazer(models)方法1：Z → Y Z \to Y Z → Y Z → X Z\to X Z → X ¶ Z → Y の因果効果 = Z → Y の因果効果 Z → X の因果効果 Z \to Y \text{の因果効果}
= \frac{
Z \to Y \text{の因果効果}
}{
Z \to X \text{の因果効果}
} Z → Y の因果効果 = Z → X の因果効果 Z → Y の因果効果 であるため、Z → Y Z \to Y Z → Y Z → X Z\to X Z → X
X → Y X\to Y X → Y β \beta β Z → X Z\to X Z → X γ \gamma γ Z → Y Z\to Y Z → Y β × γ \beta \times \gamma β × γ
そのため
β = β × γ γ \beta = \frac{\beta \times \gamma}{\gamma} β = γ β × γ で推定するということ。
import graphviz
graphviz.Source("""
digraph g {
graph [rankdir = TB];
node[shape = circle];
X [label=<<I>X</I>>]
Y [label=<<I>Y</I>>]
Z [label=<<I>Z</I>>]
U [label=<<B><I>U</I></B>>]
edge [];
Z -> X [label=<<I>γ</I>>]
X -> Y [label=<<I>β</I>>]
U -> {X,Y}
{rank = max U}
{rank = same Z;X;Y}
}
""")Z → X Z\to X Z → X 第一段階 （first stage）の検証、Z → Y Z\to Y Z → Y 誘導型 （reduced form）の検証という。
第1段階を誘導型と呼ぶこともある。
もともとマクロモデルのような同時方程式において内生変数の方程式を解いてモデルの右側を外生変数のみにした形のモデルを「誘導型」と呼んでいたため。
from patsy import dmatrices
y, X = dmatrices("x ~ z", data=df, return_type="dataframe")
model1 = sm.OLS(y, X).fit()
model1.paramsIntercept 12.537640
z 1.981999
dtype: float64
y, X = dmatrices("y ~ z", data=df, return_type="dataframe")
model2 = sm.OLS(y, X).fit()
model2.paramsIntercept 57.638072
z 7.716850
dtype: float64
model2.params / model1.paramsIntercept 4.597203
z 3.893468
dtype: float64
方法2：二段階最小二乗法 ¶ X X X Z Z Z X ^ \hat{X} X ^ X ^ → Y \hat{X}\to Y X ^ → Y U U U X X X
第一段階 ¶ X X X Z Z Z e e e
X = γ 0 + γ 1 Z + e X = \gamma_0 + \gamma_1 Z + e X = γ 0 + γ 1 Z + e X X X X ^ \hat{X} X ^
X ^ = γ ^ 0 + γ ^ 1 Z \hat{X} = \hat{\gamma}_0 + \hat{\gamma}_1 Z X ^ = γ ^ 0 + γ ^ 1 Z 第二段階 ¶ X X X X ^ \hat{X} X ^
Y = β 0 + β 1 X ^ + ε Y = \beta_0 + \beta_1 \hat{X} + \varepsilon Y = β 0 + β 1 X ^ + ε この推定量は二段階最小二乗（two-stage least squares: TSLS）推定量 と呼ばれる。
U U U Z Z Z
Y = β 0 + β 1 X + ϵ Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon Y = β 0 + β 1 X + ϵ のようにモデルを立てて推定すると、欠落変数バイアスが生じ、X X X ϵ \epsilon ϵ X X X X X X U U U
しかし、U U U Z Z Z X ^ \hat{X} X ^ U U U X ^ \hat{X} X ^ ε \varepsilon ε
単回帰かつ操作変数が1つの場合のTSLS推定量は
β ^ 1 T S L S = Z と Y の標本共分散 Z と X の標本共分散 \hat{\beta}^{TSLS}_1
= \frac{ ZとYの標本共分散 }{ ZとXの標本共分散 } β ^ 1 TS L S = Z と X の標本共分散 Z と Y の標本共分散 となる。
OLSを用いてTSLSを行う ¶ IV系のパッケージを使わずに推定する方法。TSLS推定値は得られるが標準誤差の推定はできない。
y, X = dmatrices("x ~ z", data=df, return_type="dataframe")
model1 = sm.OLS(y, X).fit()
model1.paramsIntercept 12.537640
z 1.981999
dtype: float64
x_hat = model1.predict(X)
y, X = dmatrices("y ~ x_hat", data=df.assign(x_hat=x_hat), return_type="dataframe")
model2 = sm.OLS(y, X).fit()
Stargazer([model2])TSLS ¶ 専用のメソッドを用いる方法。標準誤差も適切に推定できるはずだが、statsmodelsのIV2SLSはバグってる様子
from statsmodels.sandbox.regression.gmm import IV2SLS
y, X = dmatrices("y ~ x", data=df, return_type="dataframe")
result = IV2SLS(y, X, instrument=df["z"]).fit()
result.summary()/usr/local/lib/python3.9/site-packages/statsmodels/regression/linear_model.py:1883: RuntimeWarning: invalid value encountered in sqrt
return np.sqrt(np.diag(self.cov_params()))
from linearmodels.iv import IV2SLS
model = IV2SLS.from_formula("y ~ [x ~ z]", df).fit()
model操作変数の妥当性の条件 ¶ 次の2つの条件を満たす操作変数Z Z Z
操作変数の関連性 ：c o r r ( Z , X ) ≠ 0 corr(Z, X) \neq 0 corr ( Z , X ) = 0
操作変数の外生性 ：c o r r ( Z , ε ) = 0 corr(Z, \varepsilon) = 0 corr ( Z , ε ) = 0
TSLS推定量の一致性 ¶ 関連性と外生性が満たされるとき、TSLS推定量は一致性をもつ。
（証明）
単回帰モデルにおけるTSLS推定量
β ^ 1 T S L S = Z と Y の標本共分散 Z と X の標本共分散 = s Z , Y s Z , X \hat{\beta}_1^{TSLS}
= \frac{ ZとYの標本共分散 }{ ZとXの標本共分散 }\\
= \frac{ s_{Z, Y} }{ s_{Z, X} }\\ β ^ 1 TS L S = Z と X の標本共分散 Z と Y の標本共分散 = s Z , X s Z , Y を例にとる。
推定モデルY = β 0 + β 1 X + ε Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon Y = β 0 + β 1 X + ε
C o v ( Z , Y ) = C o v ( Z , β 0 + β 1 X + ε ) = C o v ( Z , β 0 ) + C o v ( Z , β 1 X ) + C o v ( Z , ε ) = 0 + C o v ( Z , β 1 X ) + 0 = β 1 C o v ( Z , X ) \begin{align}
Cov(Z, Y)
&= Cov(Z, \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon)\\
&= Cov(Z, \beta_0) + Cov(Z, \beta_1 X) + Cov(Z, \varepsilon)\\
&= 0 + Cov(Z, \beta_1 X) + 0\\
&= \beta_1 Cov(Z, X)
\end{align} C o v ( Z , Y ) = C o v ( Z , β 0 + β 1 X + ε ) = C o v ( Z , β 0 ) + C o v ( Z , β 1 X ) + C o v ( Z , ε ) = 0 + C o v ( Z , β 1 X ) + 0 = β 1 C o v ( Z , X ) したがって
β 1 = C o v ( Z , Y ) C o v ( Z , X ) \beta_1 = \frac{ Cov(Z, Y) }{ Cov(Z, X) } β 1 = C o v ( Z , X ) C o v ( Z , Y ) 標本による推定量β ^ 1 T S L S \hat{\beta}_1^{TSLS} β ^ 1 TS L S C o v ( Z , Y ) , C o v ( Z , X ) Cov(Z, Y), Cov(Z, X) C o v ( Z , Y ) , C o v ( Z , X ) s Z , Y , s Z , X s_{Z, Y}, s_{Z, X} s Z , Y , s Z , X β 1 \beta_1 β 1
β ^ 1 T S L S = s Z , Y s Z , X → C o v ( Z , Y ) C o v ( Z , X ) \hat{\beta}_1^{TSLS} = \frac{ s_{Z, Y} }{ s_{Z, X} }
\to \frac{ Cov(Z, Y) }{ Cov(Z, X) } β ^ 1 TS L S = s Z , X s Z , Y → C o v ( Z , X ) C o v ( Z , Y ) TSLS推定量の標準誤差 ¶ 二段階最小二乗法を行う場合、二段階目のOLS推定量の標準誤差は正しくない（第一段階で推定した予測値を用いていることの考慮がされていないため）
実際に使うときは手作業で二段階最小二乗法を行うのではなく、統計分析ソフトに任せるほうがよい（更にいうと不均一分散に対して頑健な標準誤差を使うのがよい）
漸近的に（大規模標本では）、TSLSを推定量の標本分布は正規分布N ( β 1 , σ β ^ 1 T S L S 2 ) N(\beta_1, \sigma^2_{\hat{\beta}_1^{TSLS}}) N ( β 1 , σ β ^ 1 TS L S 2 )
σ β ^ 1 T S L S 2 = 1 n V a r [ ( Z − E [ Z ] ) μ ] C o v ( Z , X ) 2 \sigma^2_{\hat{\beta}_1^{TSLS}}
= \frac{1}{n}
\frac{ Var[(Z-E[Z])\mu] }{ Cov(Z, X)^2 } σ β ^ 1 TS L S 2 = n 1 C o v ( Z , X ) 2 Va r [( Z − E [ Z ]) μ ] （S&W、App. 12.3）
ワルド推定量 ¶ 単回帰モデルY = β 0 + β 1 X + ε Y=\beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon Y = β 0 + β 1 X + ε
Xは内生変数E ( ε ∣ X ) ≠ 0 E(\varepsilon|X)\neq 0 E ( ε ∣ X ) = 0
次の条件を満たす操作変数Z Z Z
ダミー変数である：Z ∈ { 0 , 1 } Z \in \{0, 1\} Z ∈ { 0 , 1 }
外生性を満たす：E ( ε ∣ Z ) = 0 E(\varepsilon|Z)=0 E ( ε ∣ Z ) = 0
関連性を満たす：E ( X ∣ Z ) ≠ 0 E(X|Z) \neq 0 E ( X ∣ Z ) = 0
β 1 \beta_1 β 1
β 1 = E ( Y ∣ Z = 1 ) − E ( Y ∣ Z = 0 ) E ( Y ∣ X = 1 ) − E ( Y ∣ X = 0 ) = γ 1 π 1 \beta_1 = \frac{
E(Y|Z=1) - E(Y|Z=0)
}{
E(Y|X=1) - E(Y|X=0)
}
= \frac{\gamma_1}{\pi_1} β 1 = E ( Y ∣ X = 1 ) − E ( Y ∣ X = 0 ) E ( Y ∣ Z = 1 ) − E ( Y ∣ Z = 0 ) = π 1 γ 1 上記の方法による推定量をワルド推定量 （Wald estimator）と呼ぶ。
LATE ¶ 操作変数は母集団全体ではなく特定のサブグループの処置割り当てに影響を与える事が多い
→ IV推定量は「母集団全体の平均処置効果」ではなく、「操作変数の変動の影響を受けるサブグループの処置効果」を捉えている
このような推定量の解釈として、局所的平均処置効果 （local average treatment effect: LATE ）という概念がある
誰が操作変数の影響を受けるか？ ¶ 操作変数も処置変数も二値変数のケースでは、処置変数D D D Z Z Z D ( Z ) D(Z) D ( Z )
Always-Taker: Z Z Z D = 1 D=1 D = 1
Never-Taker: Z Z Z D = 0 D=0 D = 0
Complier: Z = 1 Z=1 Z = 1 D = 1 D=1 D = 1 Z = 0 Z=0 Z = 0 T = 0 T=0 T = 0
Defier: Z = 0 Z=0 Z = 0 D = 1 D=1 D = 1 Z = 1 Z=1 Z = 1 = 0 =0 = 0
LATE ¶ 独立性（independence)：{ Y ( 0 ) , Y ( 1 ) , D ( 0 ) , D ( 1 ) } ⊥ ⊥ Z \newcommand{\indep}{\mathop{\hspace{0.1em} \perp\!\!\!\perp \hspace{0.1em}}} \{Y(0), Y(1), D(0), D(1)\} \indep Z { Y ( 0 ) , Y ( 1 ) , D ( 0 ) , D ( 1 )} ⊥ ⊥ Z
除外制約（exclusion restriction）：Z Z Z Y Y Y D D D
関連性（relevance）：Z Z Z D D D E [ D ( 1 ) − D ( 0 ) ] ≠ 0 E[D(1)-D(0)]\neq 0 E [ D ( 1 ) − D ( 0 )] = 0
単調性（monotonicity）：D ( 1 ) − D ( 0 ) ≥ 0 for all i , or vice versa D(1)-D(0) \geq 0 \text{ for all } i, \text{ or vice versa } D ( 1 ) − D ( 0 ) ≥ 0 for all i , or vice versa
上記の4つの仮定が成り立つとき、
β 1 , W a l d = E ( Y ∣ Z = 1 ) − E ( Y ∣ Z = 0 ) E ( D ∣ Z = 1 ) − E ( D ∣ Z = 0 ) = E [ Y ( 1 ) − Y ( 0 ) ∣ c o m p l i e r ] = β 1 , L A T E \begin{align}
\beta_{1, Wald}
&= \frac{ E(Y|Z=1) - E(Y|Z=0) }{ E(D|Z=1) - E(D|Z=0) }\\
&= E[Y(1) - Y(0)|complier]\\
&= \beta_{1, LATE}
\end{align} β 1 , Wa l d = E ( D ∣ Z = 1 ) − E ( D ∣ Z = 0 ) E ( Y ∣ Z = 1 ) − E ( Y ∣ Z = 0 ) = E [ Y ( 1 ) − Y ( 0 ) ∣ co m pl i er ] = β 1 , L A TE となる
Defierが居ないと仮定すると
E [ Y i ∣ Z i = 1 ] = E [ Y i ∣ Z i = 1 , i が Always-Taker ] ⋅ P ( i が Always-Taker ∣ Z i = 1 ) + E [ Y i ∣ Z i = 1 , i が Never-Taker ] ⋅ P ( i が Never-Taker ∣ Z i = 1 ) + E [ Y i ∣ Z i = 1 , i が Complier ] ⋅ P ( i が Complier ∣ Z i = 1 ) = E [ Y i ( 1 ) ∣ i が Always-Taker ] ⋅ p A T + E [ Y i ( 0 ) ∣ i が Never-Taker ] ⋅ p N T + E [ Y i ( 1 ) ∣ i が Complier ] ⋅ p C \begin{align}
E[Y_i \mid Z_i=1 ]&\\
= & E\left[Y_i \mid Z_i=1, i \text { が Always-Taker }\right] \cdot \mathrm{P}\left(i \text { が Always-Taker } \mid Z_i=1\right) \\
&+ E\left[Y_i \mid Z_i=1, i \text { が Never-Taker }\right] \cdot \mathrm{P}\left(i \text { が Never-Taker } \mid Z_i=1\right) \\
&+ E\left[Y_i \mid Z_i=1, i \text { が Complier }\right] \cdot \mathrm{P}\left(i \text { が Complier } \mid Z_i=1\right) \\
= & E\left[Y_{i}(1) \mid i \text { が Always-Taker }\right] \cdot p_{A T} \\
&+E\left[Y_{i}(0) \mid i \text { が Never-Taker }\right] \cdot p_{N T} \\
&+E\left[Y_{i}(1) \mid i \text { が Complier }\right] \cdot p_C
\end{align} E [ Y i ∣ Z i = 1 ] = = E [ Y i ∣ Z i = 1 , i が Always-Taker ] ⋅ P ( i が Always-Taker ∣ Z i = 1 ) + E [ Y i ∣ Z i = 1 , i が Never-Taker ] ⋅ P ( i が Never-Taker ∣ Z i = 1 ) + E [ Y i ∣ Z i = 1 , i が Complier ] ⋅ P ( i が Complier ∣ Z i = 1 ) E [ Y i ( 1 ) ∣ i が Always-Taker ] ⋅ p A T + E [ Y i ( 0 ) ∣ i が Never-Taker ] ⋅ p NT + E [ Y i ( 1 ) ∣ i が Complier ] ⋅ p C 同様に
E [ Y i ∣ Z i = 0 ] = E [ Y i ( 1 ) ∣ i が Always-Taker ] ⋅ p A T + E [ Y i ( 0 ) ∣ i が Never-Taker ] ⋅ p N T + E [ Y i ( 0 ) ∣ i が Complier ] ⋅ p C \begin{align}
E[Y_i \mid Z_i=0 ]
= & E\left[Y_{i}(1) \mid i \text { が Always-Taker }\right] \cdot p_{A T} \\
&+E\left[Y_{i}(0) \mid i \text { が Never-Taker }\right] \cdot p_{N T} \\
&+E\left[Y_{i}(0) \mid i \text { が Complier }\right] \cdot p_C
\end{align} E [ Y i ∣ Z i = 0 ] = E [ Y i ( 1 ) ∣ i が Always-Taker ] ⋅ p A T + E [ Y i ( 0 ) ∣ i が Never-Taker ] ⋅ p NT + E [ Y i ( 0 ) ∣ i が Complier ] ⋅ p C なので、
E [ Y i ∣ Z i = 1 ] − E [ Y i ∣ Z i = 0 ] = { E [ Y i ( 1 ) ∣ i が Complier ] − E [ Y i ( 0 ) ∣ i が Complier ] } ⋅ p C \begin{aligned}
& \mathrm{E}\left[Y_i \mid Z_i=1\right]-\mathrm{E}\left[Y_i \mid Z_i=0\right] \\
& \quad=\left\{\mathrm{E}\left[Y_{i}(1) \mid i \text { が Complier }\right]-\mathrm{E}\left[Y_{i}(0) \mid i \text { が Complier }\right]\right\} \cdot p_C
\end{aligned} E [ Y i ∣ Z i = 1 ] − E [ Y i ∣ Z i = 0 ] = { E [ Y i ( 1 ) ∣ i が Complier ] − E [ Y i ( 0 ) ∣ i が Complier ] } ⋅ p C LATEの意味 ¶ IV推定量は、操作変数によって処置変数の状況が変わるグループ（complier）における平均処置効果を捉える
β 1 , L A T E = E [ Y ( 1 ) − Y ( 0 ) ∣ T = c o m p l i e r ] \beta_{1, LATE} = E[Y(1) - Y(0)|T=complier] β 1 , L A TE = E [ Y ( 1 ) − Y ( 0 ) ∣ T = co m pl i er ] Complierか否かは観測不可能→LATEは観測不可能なグループについての因果効果
操作変数が異なればLATEも異なる
外的妥当性については常に留意が必要
ITTとLATE ¶ 実験（RCT）において、処置をランダムに割り当てても、処置に従わない人たち（non-complier）もいる
intention-to-treat (ITT) effect ：処置を割り当てられた人たちにおける「処置のオファー」の平均効果
処置に従った人たち（complier）における平均処置効果は
I T T 効果 c o m p l i a n c e 比率 \frac{ITT効果}{compliance比率} co m pl ian ce 比率 I TT 効果 処置の無作為割り当て（オファー）がZ Z Z D D D
defierもalways-takerもなしと仮定すると？Z = 0 Z=0 Z = 0 D ( Z ) = 0 D(Z)=0 D ( Z ) = 0
β 1 , W a l d = E ( Y ∣ Z = 1 ) − E ( Y ∣ Z = 0 ) E ( D ∣ Z = 1 ) − E ( D ∣ Z = 0 ) = E ( Y ∣ Z = 1 ) − E ( Y ∣ Z = 0 ) E ( D ∣ Z = 1 ) − 0 = E ( Y ∣ Z = 1 ) − E ( Y ∣ Z = 0 ) P ( D = 1 ∣ Z = 1 ) = ITT effect compliance rate \begin{align}
\beta_{1, Wald}
&= \frac{ E(Y|Z=1) - E(Y|Z=0) }{ E(D|Z=1) - E(D|Z=0) }\\
&= \frac{ E(Y|Z=1) - E(Y|Z=0) }{ E(D|Z=1) - 0 }\\
&= \frac{ E(Y|Z=1) - E(Y|Z=0) }{ P(D=1|Z=1) }\\
&= \frac{ \text{ITT effect} }{ \text{compliance rate} }\\
\end{align} β 1 , Wa l d = E ( D ∣ Z = 1 ) − E ( D ∣ Z = 0 ) E ( Y ∣ Z = 1 ) − E ( Y ∣ Z = 0 ) = E ( D ∣ Z = 1 ) − 0 E ( Y ∣ Z = 1 ) − E ( Y ∣ Z = 0 ) = P ( D = 1∣ Z = 1 ) E ( Y ∣ Z = 1 ) − E ( Y ∣ Z = 0 ) = compliance rate ITT effect
