離散選択モデル

概要¶

離散選択問題：意思決定者（例えば消費者や企業）が取りうる行動の選択肢の中から自身の目的関数（例えば効用や利潤）を最大化するような行動を選ぶという意思決定問題
- ある商品の需要を考えるために、他の製品との代替性を考える
動学的な意思決定を考える場合は「今日この行動をとる」と「今日は見送る（明日以降に行動するという選択肢を残す）」の両者の利得の現在割引価値を比較することになる
ここでは、ある製品を購入するかどうかの例で考えていく。

効用関数¶

消費者 $i$ が製品 $j$ を購入した場合の間接効用 $U_{ij}$ を、製品から消費者が平均的に得る効用 $V_j$ と個々人の好みよる効用 $\epsilon_{ij}$ （選好ショック）とに分けて捉える。

U_{ij} = V_j + \epsilon_{ij}

(1)

ここで $V_j = \beta^0 + \sum_{k=1}^K \beta^k x^k_j - \alpha p_j$ で、 $\alpha, \beta^0, ..., \beta^k$ はパラメータである。

「購入しない」という選択肢は outside goods と呼ばれ、 $j=0$ で表す。

以上をまとめると効用は次のように表される。

効用関数

消費者 $i$ が製品 $j$ を購入した場合の間接効用 $U_{ij}$ ：

U_{ij} = \begin{cases} \beta^0 + \sum_{k=1}^K \beta^k x^k_j - \alpha p_j + \epsilon_{ij} & j = 1, ...,J\\ \epsilon_{ij} & j=0 \end{cases}

(2)

$\alpha, \beta^0, ..., \beta^k$ ：パラメータ
$x_j^k$ ：製品属性
$\epsilon_{ij}$ ：その製品に対する個人特有の選好で、特定の確率分布に従う確率変数（誤差項）

離散選択問題¶

以上の効用関数のもとで、消費者 $i$ は最も高い効用が得られる選択肢 $d_i$ を選ぶと考える。

d_i=\underset{j \in\{1, \ldots, J\}}{\operatorname{argmax}} U_{i j}

(3)

分析者の視点では $\epsilon_{ij}$ は直接観測できず、誤差項のようなものである。

そのランダム性を考慮して確率で考えると、消費者 $i$ が製品 $j$ を選択する確率は、選択肢 $j$ から得られる効用 $U_{ij}$ が他の選択肢から得られる効用 $U_{il}$ よりも高くなるような事象が発生する確率

\operatorname{Pr}\left(d_i=j\right)=\operatorname{Pr}\left(\left\{\epsilon_{i j}\right\}_{j=0}^J \mid V_j+\epsilon_{i j}>V_l+\epsilon_{i l}, \forall l \neq j\right)

(4)

となる。この確率は $\epsilon_{ij}$ が従うと仮定する確率分布の設定によって変わる。

二項選択モデル¶

最も単純なケースとして、選択肢の数 $J=2$ の場合を考える。各財から得られる効用を、平均的な満足度 $\beta_j$ 、価格 $p_j$ 、ランダムな選好ショック $\epsilon_{ij}$ で表す：

\begin{aligned} & U_{i 1}=\beta_1-\alpha p_1+\epsilon_{i 1} \\ & U_{i 2}=\beta_2-\alpha p_2+\epsilon_{i 2} \end{aligned}

(5)

このとき、消費者 $i$ がとる選択肢 $d_i$ は：

d_i= \begin{cases}1 & \text { if } \beta_1-\alpha p_1+\epsilon_{i 1}>\beta_2-\alpha p_2+\epsilon_{i 2} \\ 2 & \text { if } \beta_1-\alpha p_1+\epsilon_{i 1} \leq \beta_2-\alpha p_2+\epsilon_{i 2}\end{cases}

(6)

したがって購入確率は

\begin{aligned} \operatorname{Pr}\left(d_i=1\right) & =\operatorname{Pr}\left(\beta_1-\alpha p_1+\epsilon_{i 1}>\beta_2-\alpha p_2+\epsilon_{i 2}\right) \\ & =\operatorname{Pr}\big(\epsilon_{i 1}-\epsilon_{i 2}>-\left(\beta_1-\beta_2-\alpha\left(p_1-p_2\right)\right)\big) \end{aligned}

(7)

となる。

二項プロビットモデル¶

$\epsilon_{ij}$ が独立かつ同一の正規分布 $\mathcal{N}(0, 0.5)$ に従うと仮定する場合をprobit modelという。
この場合、財1の購入確率は、標準正規分布の累積分布関数 $\Phi(\cdot)$ を使って次のように表すことができる。

\operatorname{Pr}\left(d_i=1\right) = \Phi\left(\beta_1-\beta_2-\alpha\left(p_1-p_2\right)\right)

(8)

二項ロジットモデル¶

選好ショック $\epsilon_{ij}$ が第I種極値分布 $P(\epsilon_{i j} \leq x)=F(x)=e^{-e^{-x}}$ に従うと仮定する場合、言い換えると選好ショックの差分 $\epsilon_{i1} - \epsilon_{i2}$ が標準ロジスティック分布 $F(t)=P(X \leq t)=\frac{1}{1+\exp (-t)}$ に従うと仮定する場合、財1の購入確率は次のように表すことができる。