集合論 - データサイエンス関連+αのメモ

集合¶

何かしらの対象の集まりを集合（set）といい、その対象をそれぞれその集合の元（element, 要素）という。

空集合¶

何も含まれていない集合のことを空集合（empty set）といい、 $\emptyset$ で表す。

要素の記法¶

ある対象 $a$ が集合 $A$ に含まれることを $a\in A$ と表し、含まれないことを $a\notin A$ と表す。

集合の記法¶

外延的記法¶

要素 $a, b, c$ から成る集合を

\{a, b, c \}

(1)

と表す。このように要素を列挙するような書き方を集合の外延的記法という。

内包的記法¶

\{ x | x は \cdots である \}

(2)

といった具合に、元を表す変数についての性質を記述する方法もあり、これは内包的記法と呼ばれる。

例えば偶数の集合は、整数を $\mathbb{Z}$ とすると

\text{（偶数の集合）}= \{ y | y = 2m, m \in \mathbb{Z} \}

(3)

あるいは

\text{（偶数の集合）}= \{ y | \exists \ m \in \mathbb{Z} \ \text{s.t.} (t = 2m) \}

(4)

のように表記することができる。

集合同士の関係¶

集合 $A$ と集合 $B$ に対して $A \subset B$ かつ $B \subset A$ が成立するならば、集合 $A$ と集合 $B$ は等しいといい、 $A=B$ と書く。

ド・モルガンの法則¶

（証明）

$^\forall x \in (A \cup B)^c$ に対して、

\begin{align} x \in (A\cup B)^c &\equiv x \notin (A \cup B)\\ &\equiv x \in \{ y | \lnot (y \in A \lor y \in B) \}\\ &\equiv x \in \{ y | y \notin A \land y \notin B \} (\text{論理のド・モルガンの法則})\\ &\equiv x \notin A \land x \notin B\\ &\equiv x \in A^c \land x \in B^c\\ &\equiv x \in (A^c \cap B^c)\\ \end{align}

(11)

よって

^\forall x, (x \in (A\cup B)^c \Rightarrow x \in (A^c \cap B^c))\\

(12)

から $(A \cup B)^c \subset (A^c \cap B^c)$

同様に

^\forall x, (x \in (A^c \cap B^c) \Rightarrow x \in (A\cup B)^c)\\

(13)

から $(A^c \cap B^c) \subset (A \cup B)^c$

であるため、

(A \cup B)^c = (A^c \cap B^c)

(14)

集合族¶

集合族：集合の集合

ある集合の部分集合をすべて数え上げた集合族のことを冪集合という。

商集合、同値類、MECE¶

直積集合¶

順序対とは、プログラミングの配列や線形代数のベクトルのように順序に意味がある数字の並びのこと。

順序対の集合を直積集合という。

直積集合の身近な例はxy平面で、あれは

\mathbb{R}\times \mathbb{R} = \{ (x, y) | x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R} \}

(18)

である

写像¶

構造¶

集合に演算規則などの構造を定めていくこともできる

例えば

代数構造：計算規則が定まっている構造
距離（位相）構造：ユークリッド距離などを定める。なお距離関数が定まっている集合を距離空間という。位相は距離を離散的に表すイメージ。
測度構造：いくつかの性質を持つ冪集合から実数の集合 $\mathbb{R}$ への関数を測度という。測度が定義された集合を測度空間という

参考文献¶

大蔵陽一（2016）『大学数学ほんとうに必要なのは集合』
赤攝也（2019）『現代数学概論』