数学の初歩 - データサイエンス関連+αのメモ

数学の用語¶

公理、定義、定理¶

公理（axiom）：理由なく正しいとする文章。数学は演繹的に考えていく学問なので、ベースとなるルールを定めておく必要がある。それが公理。

定義（definition）：議論を進めるための取り決め。言葉の約束事。

定理（theorem）：公理から導出され、定義された言葉のみで正しさを証明できる文章

命題、補題、系¶

命題（proposition）：

広義には、「公理のもとで正しいかどうかを判断できる文章」を命題や予想という。
狭義には、「公理のもとで正しいことが証明できる文章」で、定理ほど重要度が高くないもの。

補題（lemma）：定理を証明するために補助的に使う文章

系（corollary）：すでに証明された定理から比較的簡単に導き出される文章

数¶

自然数： $1, 2, 3, \cdots$ （0を含める流儀も、含めない流儀もある）
整数：自然数と $0, -1, -2, -3, \cdots$
有理数：整数 $p,q$ （ただし $p\neq 0$ ）を用いて $\frac{q}{p}$ と表される数
実数：数直線上に表される数
無理数：有理数でない実数（例： $\sqrt{2}, \pi, e$ ）
複素数：実数 $a,b$ を用いて、 $a+bi$ と表される数。ここで $i$ は虚数単位で、 $i^2=-1$

論理式¶

命題関数¶

例えば

$a$ は整数である

という文章は、 $a$ の具体的な値が定まらなければ正しいかどうかを判断できない。

例えば、

$a=1$ なら「 $a$ は整数である」という文章は「1は整数である」という正しい広義の命題。
$a=3.7$ なら「 $a$ は整数である」という文章は「3.7は整数である」という正しくない広義の命題。

P(a): aは整数である

(1)

というような記法もある。述語とも呼ばれる。

広義の命題が入る箱として文字を使う場合もある。

変数的命題が取りうる値を網羅した表を真偽表という。

$p$	$q$	$p \land q$
0	0	0
1	0	0
0	1	0
1	1	1

論理式¶

論理演算子と構成命題¶

記号	意味	定義
$\lnot$	否定	「 $p$ ではない」を $\lnot p$ と書き、否定命題と呼ぶ
$\land$	かつ	「 $p$ かつ $q$ 」を $p\land q$ と表し、論理積と呼ぶ
$\lor$	または	「 $p$ または $q$ 」を $p \lor q$ と表し、論理和と呼ぶ
$\Rightarrow$	ならば	「 $p$ ならば $q$ 」を $p \Rightarrow q$ と表す
$\Leftrightarrow$	同値	$(p\Rightarrow q)\land (p \Leftarrow q)$ を $p \Leftrightarrow q$ と書く
$\forall$	すべての	-
$\exists$	存在する	-

こうした記号を論理演算子といい、論理演算子を組み合わせて構成された広義の命題（例えば $(p\Rightarrow q) \land r$ など）を構成命題という。

対偶¶

例：「雨が降った $\Rightarrow$ 服が濡れている」と「服が濡れている $\Rightarrow$ 雨が降った」は互いに逆の命題。

例： $x^2 + y^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \land y=0$ の裏は $x^2 + y^2 \neq 0 \Rightarrow \lnot (x = 0 \land y=0)$

例：「東京都に住んでいるならば日本に住んでいる」と「日本に住んでいないならば東京都に住んでいない」

同値¶

例えば二重否定（「 $p$ でなくはない」）は元の命題と同値である。

$p$	$\lnot p$	$\lnot \lnot p$
1	0	1
0	1	0

この表の $p$ と $\lnot \lnot p$ は真偽値の並びが等しい。よって同値である。

全称命題¶

$\forall$ は「すべての～」「任意の～」という意味の記号で、全称記号という。

自由変数（命題関数に代入する変数）と全称記号がくっついた形は全称命題という。

例えば

「任意の $x>0$ に対して、 $x^2>0$ が成り立つ」は

\forall x > 0, \ x^2 > 0

(7)

と書くことができる

存在命題¶

$\exists$ は「～を満たすものが存在する」「ある～が存在して、～が成り立つ」という意味である

例えば

\exists 村 \text{s.t.} ミカンのなる木が生えている

(8)

は「ミカンのなる木が生えているような村が存在する」という意味になる（ $\text{s.t.}$ はsuch thatで「that以下のような」）

例えば

「ある $x \in \mathbb{R}$ が存在して、 $x^2 = 0$ が成り立つ」

は

\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 = 0\\ \exists x \in \mathbb{R} \operatorname{ s.t. } x^2 = 0\\

(10)

などと書くことができる。

参考：∀(全称記号,任意の)と∃(存在記号,存在する)の使い方 | 数学の景色

ド・モルガンの法則¶

証明¶

証明とは、広義の命題について、真であるか偽であるかをあきらかにすること。

対偶法による証明の例¶

$n$ を自然数とする。このとき $n^2$ が偶数ならば $n$ は偶数であることを証明せよ

（証明）

a: n^2が偶数である\\ b: nが偶数である

(12)

とおくと、証明しなければいけないのは $a\Rightarrow b$ 。

対偶 $\lnot b \Rightarrow \lnot a$ を考えると、

\lnot a: n^2が偶数でない（＝奇数である）\\ \lnot b: nが偶数でない（＝奇数である）

(13)

となり、奇数を扱う方法に変換できる。

奇数は $2 \times \text{自然数} + 1$ の形で表すことができる。 $n$ は $n=2k+1 (k=0, 1,2,3,\cdots)$ と表すことができるため、 $n^2$ を計算すると

\begin{align} n^2 &= (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1\\ &= 2 (2k^2 + 2k) + 1 \end{align}

(14)

$2k^2 + 2k$ は自然数なので、 $n^2$ も $2 \times \text{自然数} + 1$ の形になっている。よって $n$ が奇数なら $n^2$ は奇数である

証明の構造

上記の証明は次のように構造化できる

大前提（定理）：対偶の真偽は一致する
小前提（事実）：証明したい事柄の対偶が真であった
結論：証明したい事柄は真

数学の分野¶

数学のさまざまな分野を概観する

伝統的なのは代数・解析・幾何の3分野の分け方になる。

代数学¶

四則演算の技法を高める学問

四則演算（和と積）が定義できる要素の集合（代数系）について研究する。

群論：図形など数学的構造の対称性を研究する
体論：四則演算が成立する世界をいくつも考え出し、それらの間にある関係を群論を通して調べる
環論：簡単な説明は難しいが、線形代数学はここに入る
数論（整数論）：素数の性質を調べる分野
代数幾何学：多項式で表される図形を扱う

代数系：演算が定義された集合。群・環・体など、

群：1つの演算があり、対称性を記述するのに用いられる
環：加減乗法が定まっている代数系
体：四則演算が定まっている代数系
- ガロア理論も体論に含む

解析学¶

極限操作を扱う数学

関数論：関数の解析を行う
関数解析学

幾何学¶

空間図形を扱う数学

微分幾何学：面積や体積など量的な調べ方に基づく
位相幾何学（トポロジー）：図形の性質の違いに着目する幾何学

いずれも、多様体の構造を調べることが念頭にある（多様体論）

数学基礎論¶

数学基礎論（数理論理学）は数学の証明の厳密性など、理論的な基盤を追求する学問

応用数学¶

日常の現象や技術と結びついた数学。複数の分野にまたがる数学でもある。