Rosenbaum Bounds - データサイエンス関連+αのメモ

Rosenbaumは結果変数が2値の場合に利用できる簡単な方法を提案した。

処置変数 $z_i \in \{0, 1\}$ が、ロジスティック回帰で、

\log \left(\frac{\pi_i}{1-\pi_i}\right) = g(\mathrm{x}_i) + \gamma \ u_i, \quad \text { where } u_i \in[0,1]

と表される、つまり傾向スコア $\pi_i = p(z_i = 1 \mid \mathrm{x}_i)$ が観測された共変量の関数 $g(\mathrm{x}_i)$ だけでなく未観測の交絡因子 $u_i \ (0\leq u_i \leq 1)$ にも依存すると考える。

未観測の交絡因子 $u_i$ からの係数 $\gamma$ を変化させることで、その影響を調べることができる。

$\Gamma = \exp \gamma$ とおくと、全く同じ共変量の値をもつ2つの対象者 $i$ と $i'$ についてのオッズ比は

\frac{1}{\Gamma} \leq \frac{\pi_{i} / (1-\pi_{i'})}{\pi_{i'} /(1-\pi_{i})} \leq \Gamma ,\quad \text {for all } i \text{ with } \mathbf{x}_{i} = \mathbf{x}_{i'},

となる。

また同値の別表現で

\frac{1}{1+\Gamma} \leq P(z_{i}=1, z_{i'}=0 \mid \mathbf{x}_i) \leq \frac{\Gamma}{1+\Gamma}

ともなる。

これらの区間は Rosenbaum Bounds と呼ばれ、ローゼンバウムからは検定に対する感度分析が提案されている。

参考¶