最適性条件

関数$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$に対する無制約最適化問題

\newcommand{\R} attempting to redefine \R; use \renewcommand

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\b}[1]{ \boldsymbol{#1} }
\min_{\b{x}\in\R} f(\b{x})
\tag{1}

について考える。

凸とは限らない関数の最適化では、局所最適解を求めることが現実的な目標になる

目的関数が微分可能なら、局所最適解における勾配はゼロベクトルとなる

ここで\nabla f(\b{x})は勾配（gradient）

Undefined control sequence: \b at position 10: \nabla f(\̲b̲{x}) = \left(
 …

\nabla f(\b{x}) = \left(
    \frac{\partial f}{\partial x_1} (\b{x}),
    \dots,
    \frac{\partial f}{\partial x_n} (\b{x})
\right)^T \in \R^n

である

ヘッセ行列の情報で局所最適解かどうかを判定することができる