確率

標本空間¶

確率は世の中で観測される事象に対して定義されるため、まず事象を数学的に記述する。

「六面サイコロを1個投げたときの出目」のような事象（event）の集合

を 標本集合 (sample set) と呼ぶ。また試行の結果得られたものを 標本（sample） と呼ぶ。

事象：σ-加法族¶

σ-加法族だと無限回の集合演算に閉じてるということ。

ただし、なんでもいいわけではなく、例えば$\mathcal{F}=2^\Omega$とし、$\Omega=\mathbb{R}$と対応付けたような集合は、大きすぎて自然な確率が定義できないことが知られている。

実用的なσ加法族としてボレル集合族というものがある。

ボレル集合族¶

標本空間$\Omega = \mathbb{R}^d ~ (d \in \mathbb{N})$について、まず$d=1$の場合のσ加法族を考える。

区間の集合

を考える。ただし$b=\infty$のときは$(a,b]=(a,\infty)$とし、$a > b$のときは$(a,b] = \emptyset$とする。

これに対し、

とすると、これは有限加法族である。このような$\mathcal{A}$を 区間塊 という。

$\mathcal{A}$の元に対して、その補集合や積集合を加えて$\mathcal{A}$を拡張していくと$\mathcal{A}$を含むσ-加法族が出来上がる。

上記の区間集合で定義された$\mathcal{A}$から作られた$\sigma(\mathcal{A})$は、特に$\mathbb{R}$上の ボレル集合族 (Borel field) と言われ、

と書かれる。

一般化して$d$次元の標本空間$\Omega = \mathbb{R}^d ~ (d \in \mathbb{N})$に対しても、$d$時点の区間の集合

に対して$\mathcal{B}_d = \sigma(\mathcal{I}_d)$と作ることができる。これを $d$次元ボレル集合族 という。こうして $d$次元（ボレル）可測空間

が得られる

確率変数¶

標本の元$\omega \in \Omega$のことは根元事象とも呼ばれる。 例えばサイコロの目を$X$として、$X(\omega_i) = i ~ (i=1,\dots,6)$という対応を考える。$X = i$という観測（実現値 realization）を通して、背後に$\omega_i$という事象が起こっていたのだと考える。 よって、$X: \Omega \to \mathbb{R}$となるような対応があって、これが確率変数となる。

例えば$X \in \{1, 6\}$となるような「確率」を考えることは、事象$\{ \omega_1, \omega_6 \}$の「確率」を考えることになる。したがって$\{\omega_1, \omega_6\} = X^{-1}(\{ 1,6 \})\in\mathcal{F}$であることが要求される。

（少なくとも清水 (2021) では）以下の略記法が用いられる。

記法：写像 $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ に対して,

また, $b>a>0$ に対して $B=(a, b]$ のときには, $\{a<X \leq b\}:=\{X \in(a, b]\}$ の ような記号も用いる.

※randam variableの訳語は「確率変数」だが、確率の定義に踏み入らずに定義される。

確率変数は可測関数¶

確率変数は測度論における可測関数のこと。

よって確率変数は$\Omega$上の$\mathcal{F}$-可測関数である

確率¶

頻度論的確率¶

日常的に使われる確率の定義は

で、これはラプラスによる 頻度論的確率 と呼ばれる定義。

公理論的確率¶

コルモゴロフによる公理主義的な確率

$A \cap B=\emptyset$は同時に起こらない、排反事象のこと。2.のほうを確率の加法性という。