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統計量

SEMでは相関行列や共分散行列などを多用するのであらためて整理しておく

積率・共分散・相関係数

観測対象×観測変数の多変量データの行列XXがあるとする。

変量xix_iと変量xjx_jがあり、変換した行列として偏差行列VVと標準化データ行列ZZがあるとする。

偏差はvij=xij−xˉjv_{ij} = x_{ij} - \bar{x}_j（xˉj=1N∑i=1Nxij\bar{x}_j = \frac{1}{N} \sum^N_{i=1} x_{ij}）、標準化データはzij=vijsi=xij−xˉisiz_{ij} = \frac{ v_{ij} }{ s_{i} } = \frac{ x_{ij} - \bar{x}_i }{ s_i }である。

標本積率、標本共分散、標本相関係数はそれぞれ

mij=1N∑k=1Nxikxjksij=1N∑k=1Nvikvjk=1N∑k=1N(xik−xˉi)(xjk−xˉj)rij=1N∑k=1Nzikzjk=1N∑k=1Nviksivjksj=1N∑k=1Nxik−xˉisixjk−xˉjsj\begin{align} m_{ij} &= \frac{1}{N} \sum^N_{k=1} x_{ik} x_{jk} \\ s_{ij} &= \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N v_{ik} v_{jk} = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N (x_{ik} - \bar{x}_i)(x_{jk} - \bar{x}_j) \\ r_{ij} &= \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N z_{ik} z_{jk} = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N \frac{v_{ik}}{s_i} \frac{v_{jk}}{s_j} = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N \frac{x_{ik} - \bar{x}_i}{s_i} \frac{x_{jk} - \bar{x}_j}{s_j} \end{align}
(1)

母積率、母共分散、母相関係数は

σmij=E[xixj]σij=E[vivj]=E[(xi−μi)(xj−μj)]σrij=E[zizj]=E[(xi−μiσi)(xj−μjσj)]\begin{align} \sigma_{mij} &= E[x_i x_j]\\ \sigma_{ij} &= E[v_i v_j] = E[(x_i - \mu_i)(x_j - \mu_j)]\\ \sigma_{rij} &= E[z_i z_j] = E\left[\left(\frac{x_i - \mu_i}{ \sigma_i }\right) \left(\frac{x_j - \mu_j}{ \sigma_j }\right)\right] \end{align}
(2)

標本積率行列MM、標本共分散行列SS、標本相関行列RRは

M=1NXXTS=1NVVTR=1NZZT\begin{align} M &= \frac{1}{N} X X^T\\ S &= \frac{1}{N} V V^T\\ R &= \frac{1}{N} Z Z^T \end{align}
(3)
統計モデリング
Structural Equation Modeling（SEM）
統計モデリング
回帰分析