練習問題メモ 02

[5] 助変数表示の微分 $x$ と $y$ が 1 つの変数 $t$ の関数として $x=f(t), y=g(t)$ の形で与えられているとする. このとき, $y$ は $x$ の関数, または $x$ は $y$ の関数と考えてよく, $t$ を助変数(パラメータ)または媒介変数という. 逆関数の微分法を利用すれば,

\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} \frac{d t}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}

(10)

によって, 導関数を計算できる. これを用いて, 次の関数について, $d y / d x$ を求めよ.

(1) $x=a \cos t, \quad y=b \sin t$

\frac{dy}{dt} = b \cos t\\ \frac{dx}{dt} = - a \sin t\\

(11)

なので

\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = - \frac{b \cos t}{a \sin t} = - \frac{b}{a} \cot t

(12)

(2) $\displaystyle x=\frac{3 a t}{1+t^3}, \quad y=\frac{3 a t^2}{1+t^3}$

\frac{dy}{dt} = \frac{(3 a t^2)' (1+t^3) - (3 a t^2) (1+t^3)'}{ (1+t^3)^2 }\\ = \frac{6 a t (1+t^3) - 3 a t^2 \cdot 3t^2}{ (1+t^3)^2 }\\ = \frac{ 6at + 6at^4 - 9at^4}{ (1+t^3)^2 }\\ = \frac{ 6at - 3at^4}{ (1+t^3)^2 }\\

(13)

\frac{dx}{dt} = \frac{(3at)' (1+t^3) - 3at (1+t^3)'}{(1+t^3)^2}\\ = \frac{3a (1+t^3) - 3at \cdot 3t^2}{ (1+t^3)^2 }\\ = \frac{3a + 3a t^3 - 9at^3}{ (1+t^3)^2 }\\ = \frac{3a - 6at^3}{ (1+t^3)^2 }\\

(14)

なので

\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{ \frac{ 6at - 3at^4 }{ (1+t^3)^2} }{ \frac{ 3a - 6at^3 }{ (1+t^3)^2 } }\\ = \frac{ 6at - 3at^4 }{ (1+t^3)^2} \frac{ (1+t^3)^2 }{ 3a - 6at^3 }\\ = \frac{ 6at - 3at^4 }{ 3a - 6at^3 }\\ = \frac{ 1/3 }{ 1/3 } \frac{ 6at - 3at^4 }{ 3a - 6at^3 }\\ = \frac{ 2at - at^4 }{ a - 2at^3 }\\ = \frac{ a (2t - t^4) }{ a (1 - 2t^3) }\\ = \frac{ 2t - t^4 }{ 1 - 2t^3 }\\ = \frac{ t(2 - t^3) }{ 1 - 2t^3 }\\

(15)

[6]¶

[6] 双曲線関数

\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, \quad \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}, \quad \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}

(16)

に対して，次のことを示せ.

(1) $\frac{d}{d x} \sinh x=\cosh x$

(2) $\frac{d}{d x} \cosh x=\sinh x$

(3) $\frac{d}{d x} \tanh x=\frac{1}{\cosh ^2 x}$

(1) $\frac{d}{d x} \sinh x=\cosh x$

合成関数と捉えれば $(e^{-1\cdot x})' = - e^{-x}$ なので

\frac{d}{d x} \sinh x = \frac{d}{d x} \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \cosh x

(17)

(2) $\frac{d}{d x} \cosh x=\sinh x$

合成関数と捉えれば $(e^{-1\cdot x})' = - e^{-x}$ なので

\frac{d}{d x} \cosh x = \frac{d}{d x} \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \sinh x

(19)

(3) $\displaystyle \frac{d}{d x} \tanh x=\frac{1}{\cosh ^2 x}$

\left(\frac{\sinh x}{\cosh x}\right)' = \frac{(\sinh x)' \cosh x - \sinh x (\cosh x)'}{\cosh^2 x}\\ = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x}\\ = \frac{1}{\cosh^2 x}\\

(20)

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1

\begin{align} \cosh^2 x - \sinh^2 x &= (\cosh x + \sinh x)(\cosh x - \sinh x)\\ &= (\frac{e^x+e^{-x}}{2} + \frac{e^x-e^{-x}}{2}) (\frac{e^x+e^{-x}}{2} - \frac{e^x-e^{-x}}{2})\\ &= \frac{e^x+e^{-x} + e^x-e^{-x}}{2} \frac{e^x+e^{-x} - e^x+e^{-x}}{2}\\ &= \frac{2 e^x}{2} \frac{2 e^{-x}}{2}\\ &= e^x e^{-x}\\ &= e^{x-x}\\ &= 1 \end{align}

(21)

[7]¶

[7] 次の関数の極値を求め, そのグラフの概形をかけ.

(1) $f(x)=x^4+2 x^3-3 x^2-4 x+4$

(2) $f(x)=x e^x$

(3) $\displaystyle f(x)=\frac{x+4}{\sqrt{x^2+2 x+3}}$

(1) $f(x)=x^4+2 x^3-3 x^2-4 x+4$ ¶

極値

f'(x) = 4 x^3 + 6 x^2 - 6 x - 4 = 0

(22)

となる $x$ を求める。

まず、因数 $(x-a)$ の $a$ を探索する。

因数定理より、 $f(a) = 0$ となる $a$ があれば $(x - a)$ が因数になる。

$a=1$ とすると $f'(1) = 4 + 6 - 6 - 4 = 0$ なので $(x-1)$ が因数のひとつであることがわかった。

次に、組立除法で $(4x^3 + 6x^2 - 6x - 4) / (x-1)$ を求める

\begin{array}{ccc} 4 & 6 & -6 & -4\\ & 4 & 10 & 4\\ \hline 4 & 10& 4 & 0 \end{array}

(23)

より商の $4x^2 + 10x + 4$ と余り0が得られるので

f'(x) = (x - 1)(4x^2 + 10x + 4)

(24)

$4x^2 + 10x + 4$ は、たすきがけ法などで解くと $(4x + 2)(x+2)$ なので

f'(x) = (x - 1)(4x + 2)(x + 2)

(25)

より、 $f'(x)=0$ となる $x$ は $-2, -1/2, 1$

極値のひとつは

f(-2) = (-2)^4 + 2 (-2)^3 - 3 (-2)^2 - 4 (-2) + 4\\ = 16 - 16 - 12 + 8 + 4\\ = 0

(26)

グラフ

\begin{align} f(-3) &= (-3)^4 + 2 (-3)^3 - 3 (-3)^2 - 4 (-3) + 4\\ &= 81 - 54 - 27 + 12 + 4\\ &= 16\\ \\ f(-2) &= (-2)^4 + 2 (-2)^3 - 3 (-2)^2 - 4 (-2) + 4\\ &= 16 - 16 - 12 + 8 + 4\\ &= 0\\ \\ f(-1) &= 1 - 2 - 3 + 4 + 4\\ &= 4\\ \\ f(-1/2) &= (-1/2)^4 + 2 (-1/2)^3 - 3 (-1/2)^2 - 4 (-1/2) + 4\\ &= \frac{1}{16} - 2 \frac{1}{8} - 3 \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{2} + 4\\ &= \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 2 + 4\\ &= \frac{1}{16} + 5\\ \\ f(0) &= 4\\ f(1) &= 1 + 2 - 3 - 4 + 4\\ &= 0\\ \end{align}

(27)

def f(x):
    return x**4 + 2*x**3 - 3*x**2 - 4*x + 4

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

X = [-2, -1, -1/2, 0, 1]
fig, ax = plt.subplots(figsize=[4,2])
for x in X:
    ax.scatter(x, f(x), color="steelblue")
    ax.text(x, f(x), f"{(x, f(x))}")

x = np.linspace(min(X)-0.5, max(X)+0.5, 100)
ax.plot(x, f(x), color="steelblue")

ax.axvline(0, color="gray", alpha=0.7)
ax.axhline(0, color="gray", alpha=0.7)
ax.grid(True)
fig.show()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-4, 3, 100)
fig, ax = plt.subplots(figsize=[4,2])
ax.plot(x, f(x), color="steelblue")
ax.axvline(0, color="gray", alpha=0.3)
ax.axhline(0, color="gray", alpha=0.3)
fig.show()

(2) $f(x)=x e^x$ ¶

極値

f'(x) = 1 \cdot e^x + x e^x = x e^x + e^x = 0\\ \to x = \frac{-e^x}{e^x} = -1

(28)

$f'(x)=0$ となる $x$ は-1

極値は

f(-1) = -1 e^{-1} = -\frac{1}{e} \approx -\frac{1}{2.718} \approx -0.368

(29)

グラフ

\begin{align} f(-2) &= -2e^{-2} = -\frac{2}{e^2} \approx -0.27\\ f(-1) &= -e^{-1} = - \frac{1}{e} \approx -0.37\\ f(0) &= 0\\ f(1) &= e^{1} = e \approx 2.72\\ \end{align}

(30)

- 2 / np.exp(2)

-0.2706705664732254

- 1 / np.exp(1)

-0.36787944117144233

def f(x):
    return x * np.exp(x)


X = [-2, -1, -1/2, 0, 1]
fig, ax = plt.subplots(figsize=[4,2])
for x in X:
    ax.scatter(x, f(x), color="steelblue")
    ax.text(x, f(x), f"({x:.1f}, {f(x):.1f})")

x = np.linspace(-3, 1, 100)
ax.plot(x, f(x), color="steelblue")

ax.axvline(0, color="gray", alpha=0.7)
ax.axhline(0, color="gray", alpha=0.7)
ax.grid(True)
fig.show()

(3) $f(x)=\frac{x+4}{\sqrt{x^2+2 x+3}}$ ¶

f(x)= (x+4) (x^2 + 2x + 3)^{-1/2}

(31)

なので、

\begin{align} f'(x) &= (x+4)' (x^2 + 2x + 3)^{-1/2} + (x+4) ((x^2 + 2x + 3)^{-1/2})'\\ &= (x^2 + 2x + 3)^{-1/2} - \frac{1}{2} (x+4) (x^2 + 2x + 3)^{-3/2}\\ \end{align}

(32)

となり、

(x^2 + 2x + 3)^{-3/2} = [(x + 1) + 2]^{-3/2} > 0\\ (\because [(x + 1) + 2] は x がなんであれ +2 部分により >0 のため)

(33)

のため、

わからなかった

略解だと $x=-1/3$

from sympy import symbols, factor
x = symbols("x")
y = (x**2 + 2*x + 3)**(-1/2) - (1/2) * (x+4) * (x**2 + 2*x + 3)**(-3/2)
factor(y)

Loading...

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return (x+4)*(x**2 +2*x + 3)**(-1/2)

x = np.linspace(-3, 1, 100)
fig, ax = plt.subplots(figsize=[4,2])
ax.plot(x, f(x), color="steelblue")
ax.axvline(0, color="gray", alpha=0.3)
ax.axhline(0, color="gray", alpha=0.3)
fig.show()

[4] 次の関数のnnn次導関数を求めよ¶

[5]¶

[6]¶

[7]¶

(1) f(x)=x4+2x3−3x2−4x+4f(x)=x^4+2 x^3-3 x^2-4 x+4f(x)=x4+2x3−3x2−4x+4¶

(2) f(x)=xexf(x)=x e^xf(x)=xex¶

(3) f(x)=x+4x2+2x+3f(x)=\frac{x+4}{\sqrt{x^2+2 x+3}}f(x)=x2+2x+3​x+4​¶

[4] 次の関数の $n$ 次導関数を求めよ¶

(1) $f(x)=x^4+2 x^3-3 x^2-4 x+4$ ¶

(2) $f(x)=x e^x$ ¶

(3) $f(x)=\frac{x+4}{\sqrt{x^2+2 x+3}}$ ¶