行列式の定義 - データサイエンス関連+αのメモ

2次・3次の正方行列に対する行列式¶

2次の正方行列

\renewcommand{\b} when command \b does not yet exist; use \newcommand

% 太字のalias
\renewcommand{\b}[1]{\boldsymbol{#1}}
%
\DeclareMathOperator{\Ker}{\text{Ker}}
\DeclareMathOperator{\Im}{\text{Im}}
\DeclareMathOperator{\dim}{\text{dim}}
\DeclareMathOperator{\rank}{\text{rank}}
%
A = 
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}

に対して、行列式は次のように求めることができる。

|A| = ad - bc

import numpy as np
A = np.array([
    [1, 2],
    [3, 4],
])

det = 1 * 4 - 2 * 3
assert det == np.linalg.det(A).round(5)  # numpyの計算結果と照合
print(f"det(A) = {det}")

det(A) = -2

3次の正方行列 $A$

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{pmatrix}

に対して、行列式は次のようになる

|A| = \left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| = a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} -a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}

import numpy as np
A = np.array([
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 10]
])
det = A[0,0] * A[1,1] * A[2,2] \
    + A[0,1] * A[1,2] * A[2,0] \
    + A[0,2] * A[1,0] * A[2,1] \
    - A[0,1] * A[1,0] * A[2,2] \
    - A[0,2] * A[1,1] * A[2,0] \
    - A[0,0] * A[1,2] * A[2,1]

assert det == np.linalg.det(A).round(5)  # numpyの計算結果と照合
print(f"det(A) = {det}")

det(A) = -3

$n$ 次正方行列に対する行列式の定義¶

性質による定義¶

「この性質をもっていれば行列式」という条件を挙げるタイプの定義

（定義）行列式

$n$ 次の正方行列 $A=(\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n)$ に対し、次の 3 条件をみたすただ 1 つの式を $n$ 次行列式とよび、 $\operatorname{det}(A),|A|,\left|\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right|$ などと書く.

(1) 線型性

$\left|\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right|$ は、各列について線型である。

\begin{aligned} & \left|\boldsymbol{a}_1, \cdots, c \boldsymbol{a}_k+c^{\prime} \boldsymbol{a}_k^{\prime}, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right| \\ & \quad=c\left|\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_k, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right|+c^{\prime}\left|\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_k^{\prime}, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right| \end{aligned}

(2) 交代性

第 $i$ 列と第 $j$ 列 $(i \neq j)$ を入れかえ、他はそのままとすると、値が符号だけ変わる

\left|\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_i, \cdots, \boldsymbol{a}_j, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right| = -|\boldsymbol{a}_1, \cdots, \overbrace{\boldsymbol{a}_j}^{i}, \cdots, \overbrace{\boldsymbol{a}_i}^{j}, \cdots, \boldsymbol{a}_n|

いいかえれば、「異なる 2 つの列が従属 $\left(\boldsymbol{a}_i=k \boldsymbol{a}_j\right)$ ならば、 $\left|\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right|=0$ 」である。

(3) 規格化

単位行列 $I=(\boldsymbol{e}_1, \cdots, \boldsymbol{e}_n)$ に対しては

|I|=1

ライプニッツの明示公式¶

置換を用いて陽に定義したものとして、以下の明示公式がある

行列式に対するライプニッツの明示公式

$n$ 次の正方行列

A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right)=\left(a_{i j}\right)

に対して、Aの成分によって定義される次の数 $|A|$ を $A$ の行列式という。

\begin{align} |A| &= \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{n \sigma(n)}\\ &= \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod^n_{i=1} a_{i \sigma(i)} \end{align}

ここで和は $n !$ 個の置換 $\sigma \in S_n$ すべてにわたる。

例：2次の正方行列の場合

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}

とすると、 $M_2 = \{1,2\}$ の置換は $2!=2$ 個あり

\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 2\\ \end{pmatrix} = \varepsilon , \quad \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\\ \end{pmatrix} = (1, 2)

であるため

\text{sgn} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 2\\ \end{pmatrix} = 1 , \quad \text{sgn} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\\ \end{pmatrix} = -1

となり、

\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=\operatorname{sgn}\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}\right) a_{11} a_{22}+\operatorname{sgn}\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right) a_{12} a_{21}=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}