平面における直線の方程式 ¶ あるベクトルa \boldsymbol{a} a
あるベクトルa \boldsymbol{a} a
という2つの方法がある
ベクトルaに平行な直線 ¶ 点P P P a ( ≠ 0 ) \boldsymbol{a} (\neq \boldsymbol{0}) a ( = 0 ) l l l X X X l l l P X ⃗ \vec{PX} PX a \boldsymbol{a} a
P X ⃗ = t a \vec{PX} = t \boldsymbol{a} PX = t a となるような実数t t t
P , X P, X P , X p , x \boldsymbol{p}, \boldsymbol{x} p , x P X ⃗ = t a \vec{PX} = t \boldsymbol{a} PX = t a
x − p = t a \boldsymbol{x} - \boldsymbol{p} = t \boldsymbol{a} x − p = t a あるいは
x = p + t a \boldsymbol{x} = \boldsymbol{p} + t \boldsymbol{a} x = p + t a と書き直すことができる。t t t X X X l l l
x = p + t a \boldsymbol{x} = \boldsymbol{p} + t \boldsymbol{a} x = p + t a t t t l l l ベクトル方程式 といい、a \boldsymbol{a} a l l l 方向ベクトル という。
通常のように ベクトルを成分表示して a = ( a , b ) , p = ( x 0 , y 0 ) , x = ( x , y ) \boldsymbol{a}=(a, b), \boldsymbol{p}=(x_0, y_0), \boldsymbol{x}=(x, y) a = ( a , b ) , p = ( x 0 , y 0 ) , x = ( x , y ) x = p + t a \boldsymbol{x} = \boldsymbol{p} + t \boldsymbol{a} x = p + t a
( x , y ) = ( x 0 , y 0 ) + t ( a , b ) (x, y)=(x_0, y_0) + t(a, b) ( x , y ) = ( x 0 , y 0 ) + t ( a , b ) すなわち
x = x 0 + t a , y = y 0 + t b x=x_0 + t a, \quad y=y_0+t b x = x 0 + t a , y = y 0 + t b と表される。
これはべクトル方程式を座標を用いて書き表したものである。
なおa \boldsymbol{a} a 0 \mathbf{0} 0 a , b a, b a , b
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
a = np.array([2, 1])
p = np.array([0, 1])
t = 2
x = p + t * a
fig, ax = plt.subplots(figsize=[4.5, 2.5], dpi=100)
o = [0, 0]
ax.arrow(*o, *a, color="darkorange")
ax.text(*a, "a", color="darkorange")
ax.scatter(*p, color="steelblue")
ax.text(*p, "p ", color="steelblue", ha="right")
ax.scatter(*x, color="steelblue")
ax.text(*x, "x ", color="steelblue", ha="right")
ax.arrow(*p, *(x - p), color="steelblue")
pos = p + (x - p) / 2
ax.text(*pos, r"$x = \vec{p} + t \vec{a}$", color="steelblue", ha="right")
ax.set(title=fr"line with $t={t}$, $a={a}$, $p={p}$")
fig.show()tを消去した直線の方程式 ¶ 媒介変数t t t
x = x 0 + t a x = x_0 + t a x = x 0 + t a b b b y = y 0 + t b y=y_0+t b y = y 0 + t b a a a
b x − a y = b x 0 + b t a − a y 0 − a t b = b x 0 − a y 0 b x - a y = b x_0 + b t a - a y_0 - a t b\\
= b x_0 - a y_0 b x − a y = b x 0 + b t a − a y 0 − a t b = b x 0 − a y 0 α = b , β = − a , γ = a y 0 − b x 0 \alpha=b, \quad \beta=-a, \gamma=a y_0-b x_0 α = b , β = − a , γ = a y 0 − b x 0
α x + β y + γ = 0 \alpha x+\beta y+\gamma=0 αx + β y + γ = 0 2点を通る直線 ¶ 2点 A , B A,B A , B A ≠ B A\neq B A = B
x = a + t ( b − a ) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}+t(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}) x = a + t ( b − a ) あるいは
x = ( 1 − t ) a + t b \boldsymbol{x}=(1-t) \boldsymbol{a}+t \boldsymbol{b} x = ( 1 − t ) a + t b で与えられる
例
点a = ( 3 , 5 ) , b = ( − 5 , − 3 ) \boldsymbol{a}=(3, 5), \boldsymbol{b}=(-5, -3) a = ( 3 , 5 ) , b = ( − 5 , − 3 )
x = ( 1 − t ) a + t b \boldsymbol{x}=(1-t) \boldsymbol{a}+t \boldsymbol{b} x = ( 1 − t ) a + t b より
x = ( 1 − t ) ( 3 5 ) + t ( − 5 − 3 ) \boldsymbol{x}=
(1-t) \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}
+ t \begin{pmatrix} -5 \\ -3 \end{pmatrix} x = ( 1 − t ) ( 3 5 ) + t ( − 5 − 3 ) # 与えられた点
x1, y1 = 3, 5
x2, y2 = -5, -3
# 傾きmを計算
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
# 傾きを使用して点傾き形式の方程式を求める
# 点 (x1, y1) = (3, 5) を使用
m, y1 - m*x1ベクトルaに垂直な直線 ¶ 平面上の点P P P 0 \boldsymbol{0} 0 a \boldsymbol{a} a l l l
点X X X l l l P X → \overrightarrow{P X} PX a \boldsymbol{a} a
P X → = x − p \overrightarrow{P X}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p} PX = x − p
a ⋅ ( x − p ) = 0 または a ⋅ x = a ⋅ p \boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p})=0
\quad \text{ または } \quad
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{x}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{p} a ⋅ ( x − p ) = 0 または a ⋅ x = a ⋅ p a = ( a , b ) , p = ( x 0 , y 0 ) , x = ( x , y ) \boldsymbol{a}=(a, b), \boldsymbol{p}=\left(x_0, y_0\right), \quad \boldsymbol{x}=(x, y) a = ( a , b ) , p = ( x 0 , y 0 ) , x = ( x , y )
a ( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) = 0 または a x + b y = a x 0 + b y 0 a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0
\quad \text{ または } \quad
a x+b y=a x_0+b y_0 a ( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) = 0 または a x + b y = a x 0 + b y 0 と書かれる。a x 0 + b y 0 a x_0+b y_0 a x 0 + b y 0 c c c
a x + b y = c ax + by = c a x + b y = c となる。
a = ( a , b ) \boldsymbol{a}=(a, b) a = ( a , b ) 法ベクトル という。
空間における直線の方程式 ¶ 任意の点A A A a = O A → \boldsymbol{a}=\overrightarrow{O A} a = O A O O O
P P P a \boldsymbol{a} a 0 \mathbf{0} 0 P P P a \boldsymbol{a} a l l l
x = p + t a \boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}+t \boldsymbol{a} x = p + t a によって与えられる。t t t a \boldsymbol{a} a
ベクトルを成分表示して a = ( a , b , c ) , p = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , x = ( x , y , z ) \boldsymbol{a}=(a, b, c), \boldsymbol{p}=\left(x_0, y_0, z_0\right), \boldsymbol{x}=(x, y, z) a = ( a , b , c ) , p = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , x = ( x , y , z ) x = p + t a \boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}+t \boldsymbol{a} x = p + t a
x = x 0 + t a , y = y 0 + t b , z = z 0 + t c x=x_0+t a, \quad y=y_0+t b, \quad z=z_0+t c x = x 0 + t a , y = y 0 + t b , z = z 0 + t c と書くことができる
tの消去 ¶ a , b , c a,b,c a , b , c
x − x 0 a = y − y 0 b = z − z 0 c \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} a x − x 0 = b y − y 0 = c z − z 0 としてt t t
そうでない場合、たとえばa = 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0 a=0, b\neq0, c\neq 0 a = 0 , b = 0 , c = 0
x = x 0 , y − y 0 b = z − z 0 c x=x_0, \quad \frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c} x = x 0 , b y − y 0 = c z − z 0 とすればよい
ベクトルaに垂直な平面 ¶ 所与の点P P P 0 \boldsymbol{0} 0 a \boldsymbol{a} a P P P a \boldsymbol{a} a α \alpha α
空間の点X X X P X → = x − p \overrightarrow{P X}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p} PX = x − p a \boldsymbol{a} a α \alpha α
a ⋅ ( x − p ) = 0 または a ⋅ x = a ⋅ p \boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p})=0
\quad \text{ または } \quad
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{x}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{p} a ⋅ ( x − p ) = 0 または a ⋅ x = a ⋅ p となる。
a = ( a , b , c ) , p = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , x = ( x , y , z ) \boldsymbol{a}=(a, b, c), \boldsymbol{p}=\left(x_0, y_0, z_0\right), \boldsymbol{x}=(x, y, z) a = ( a , b , c ) , p = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , x = ( x , y , z )
a ( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0 a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0 a ( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0 となり、定数a x 0 + b y 0 + c z 0 a x_0+b y_0+c z_0 a x 0 + b y 0 + c z 0 d d d
a x + b y + c z = d a x+b y+c z=d a x + b y + cz = d 例
点 ( − 3 , 1 , 2 ) (-3,1,2) ( − 3 , 1 , 2 ) ( 2 , 4 , − 5 ) (2,4,-5) ( 2 , 4 , − 5 )
a x + b y + c z = a x 0 + b y 0 + c z 0 a x+b y+c z = a x_0+b y_0+c z_0 a x + b y + cz = a x 0 + b y 0 + c z 0 なので
2 x + 4 y − 5 z = − 6 + 4 − 10 2 x + 4 y - 5z = -6 + 4 - 10 2 x + 4 y − 5 z = − 6 + 4 − 10 よって
2 x + 4 y − 5 z = − 12 2 x + 4 y - 5z = -12 2 x + 4 y − 5 z = − 12 垂直なベクトルをどう求めるか ¶ 法線ベクトルを求める
3点を通る平面 ¶ 空間の平面は空間上の異なる3点で決まる。これらをP ( p 1 , p 2 , p 3 ) , P ′ ( p 1 ′ , p 2 ′ , p 3 ′ ) , P ′ ′ ( p 1 ′ ′ , p 2 ′ ′ , p 3 ′ ′ ) \mathrm{P}(p_1, p_2, p_3), \mathrm{P}^{\prime}\left(p_1^{\prime}, p_2^{\prime}, p_3^{\prime}\right), \mathrm{P}^{\prime \prime}\left(p_1^{\prime \prime}, p_2^{\prime \prime}, p_3^{\prime \prime}\right) P ( p 1 , p 2 , p 3 ) , P ′ ( p 1 ′ , p 2 ′ , p 3 ′ ) , P ′′ ( p 1 ′′ , p 2 ′′ , p 3 ′′ )
平面上の点X ( x 1 , x 2 , x 3 ) X\left(x_1, x_2, x_3\right) X ( x 1 , x 2 , x 3 ) s , t ∈ R s, t \in \mathbb{R} s , t ∈ R
O X → = O P → + s P P ′ → + t P P ′ ′ → \overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+s \overrightarrow{\mathrm{PP}^{\prime}}+t \overrightarrow{\mathrm{PP}^{\prime \prime}} OX = OP + s PP ′ + t PP ′′ と書くことができる（平面のパラメータ表示）
点P P P a , b ∈ R 3 \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^3 a , b ∈ R 3 Π \Pi Π
Π = { O P → + s a + t b ∣ s , t ∈ R } = O P → + R a + R b \Pi = \{\overrightarrow{\mathrm{OP}}+s \boldsymbol{a}+t \boldsymbol{b} \mid s, t \in \mathbb{R}\}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\mathbb{R} \boldsymbol{a}+\mathbb{R} \boldsymbol{b} Π = { OP + s a + t b ∣ s , t ∈ R } = OP + R a + R b が考えられる。Π \Pi Π
O X → = O P → + s a + t b ( s , t ∈ R ) \overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+s \boldsymbol{a}+t \boldsymbol{b} \quad (s, t \in \mathbb{R}) OX = OP + s a + t b ( s , t ∈ R ) と書ける点X X X
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
o = np.array([0, 0])
p = np.array([1, 1])
a = np.array([0, 2])
b = np.array([2, 0])
x = p + a + b
fig, ax = plt.subplots()
arrow_cfg = dict(width=0.01, color="black", length_includes_head=True)
ax.arrow(*o, *a, **arrow_cfg)
ax.arrow(*o, *b, **arrow_cfg)
ax.scatter(*x)
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
o = np.array([0, 0])
p = np.array([1, 1])
a = np.array([0, 2])
b = np.array([2, 0])
x = p + a + b
fig, ax = plt.subplots()
arrow_cfg = dict(width=0.01, color="black", length_includes_head=True)
ax.arrow(*o, *a, **arrow_cfg)
ax.arrow(*o, *b, **arrow_cfg)
ax.scatter(*x)
a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) T b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) T \boldsymbol{a} = (a_1,a_2,a_3)^T\\
\boldsymbol{b} = (b_1,b_2,b_3)^T\\ a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) T b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) T とすると
O X → = O P → + s a + t b ⟺ { x 1 − p 1 = s a 1 + t b 1 x 2 − p 2 = s a 2 + t b 2 x 3 − p 3 = s a 3 + t b 3 \overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+s \boldsymbol{a}+t \boldsymbol{b}
\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x_1-p_1=s a_1+t b_1 \\
x_2-p_2=s a_2+t b_2 \\
x_3-p_3=s a_3+t b_3
\end{array}\right. OX = OP + s a + t b ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x 1 − p 1 = s a 1 + t b 1 x 2 − p 2 = s a 2 + t b 2 x 3 − p 3 = s a 3 + t b 3 となるので、この連立1次方程式を解く。
第1,2式を行列表記すると
[ a 1 b 1 a 2 b 2 ] [ s t ] = [ x 1 − p 1 x 2 − p 2 ] \left[\begin{array}{ll}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{l}
s \\
t
\end{array}\right]
=
\left[\begin{array}{l}
x_1-p_1 \\
x_2-p_2
\end{array}\right] [ a 1 a 2 b 1 b 2 ] [ s t ] = [ x 1 − p 1 x 2 − p 2 ] なので
[ s t ] = [ a 1 b 1 a 2 b 2 ] − 1 [ x 1 − p 1 x 2 − p 2 ] \left[\begin{array}{l}
s \\
t
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{l}
x_1-p_1 \\
x_2-p_2
\end{array}\right] [ s t ] = [ a 1 a 2 b 1 b 2 ] − 1 [ x 1 − p 1 x 2 − p 2 ] となるので、第2 , 3 2,3 2 , 3 Δ 12 : = a 1 b 2 − a 2 b 1 ≠ 0 \Delta_{12}:=a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0 Δ 12 := a 1 b 2 − a 2 b 1 = 0
[ x 2 − p 2 x 3 − p 3 ] = [ a 2 b 2 a 3 b 3 ] [ a 1 b 1 a 2 b 2 ] − 1 [ x 1 − p 1 x 2 − p 2 ] = 1 Δ 12 [ a 2 b 2 a 3 b 3 ] [ b 2 − b 1 − a 2 a 1 ] [ x 1 − p 1 x 2 − p 2 ] = 1 Δ 12 [ 0 a 1 b 2 − a 2 b 1 a 3 b 2 − a 2 b 3 a 1 b 3 − a 3 b 1 ] [ x 1 − p 1 x 2 − p 2 ] \begin{aligned}
& {\left[\begin{array}{c}
x_2-p_2 \\
x_3-p_3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
a_2 & b_2 \\
a_3 & b_3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{l}
x_1-p_1 \\
x_2-p_2
\end{array}\right]} \\
& =\frac{1}{\Delta_{12}}\left[\begin{array}{ll}
a_2 & b_2 \\
a_3 & b_3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}
b_2 & -b_1 \\
-a_2 & a_1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1-p_1 \\
x_2-p_2
\end{array}\right] \\
& =\frac{1}{\Delta_{12}}\left[\begin{array}{cc}
0 & a_1 b_2-a_2 b_1 \\
a_3 b_2-a_2 b_3 & a_1 b_3-a_3 b_1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1-p_1 \\
x_2-p_2
\end{array}\right]
\end{aligned} [ x 2 − p 2 x 3 − p 3 ] = [ a 2 a 3 b 2 b 3 ] [ a 1 a 2 b 1 b 2 ] − 1 [ x 1 − p 1 x 2 − p 2 ] = Δ 12 1 [ a 2 a 3 b 2 b 3 ] [ b 2 − a 2 − b 1 a 1 ] [ x 1 − p 1 x 2 − p 2 ] = Δ 12 1 [ 0 a 3 b 2 − a 2 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1 a 1 b 3 − a 3 b 1 ] [ x 1 − p 1 x 2 − p 2 ] この第2成分は
x 3 − p 3 = a 3 b 2 − a 2 b 3 Δ 12 ( x 1 − p 1 ) + a 1 b 3 − a 3 b 1 Δ 12 ( x 2 − p 2 ) x_3-p_3=\frac{a_3 b_2-a_2 b_3}{\Delta_{12}}\left(x_1-p_1\right)+\frac{a_1 b_3-a_3 b_1}{\Delta_{12}}\left(x_2-p_2\right) x 3 − p 3 = Δ 12 a 3 b 2 − a 2 b 3 ( x 1 − p 1 ) + Δ 12 a 1 b 3 − a 3 b 1 ( x 2 − p 2 ) となり、
Δ 12 ( x 3 − p 3 ) = a 3 b 2 − a 2 b 3 ( x 1 − p 1 ) + a 1 b 3 − a 3 b 1 ( x 2 − p 2 ) \Delta_{12} (x_3-p_3)
= a_3 b_2-a_2 b_3 (x_1-p_1)
+ a_1 b_3-a_3 b_1 (x_2-p_2) Δ 12 ( x 3 − p 3 ) = a 3 b 2 − a 2 b 3 ( x 1 − p 1 ) + a 1 b 3 − a 3 b 1 ( x 2 − p 2 ) つまり
∣ a 2 b 2 a 3 b 3 ∣ ( x 1 − p 1 ) + ∣ a 3 b 3 a 1 b 1 ∣ ( x 2 − p 2 ) − ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ ( x 3 − p 3 ) = 0 \left|\begin{array}{ll}
a_2 & b_2 \\
a_3 & b_3
\end{array}\right|
(x_1-p_1)
+ \left|\begin{array}{ll}
a_3 & b_3 \\
a_1 & b_1
\end{array}\right|
(x_2-p_2)
-\left|\begin{array}{ll}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{array}\right|
(x_3-p_3)
=0 ∣ ∣ a 2 a 3 b 2 b 3 ∣ ∣ ( x 1 − p 1 ) + ∣ ∣ a 3 a 1 b 3 b 1 ∣ ∣ ( x 2 − p 2 ) − ∣ ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ ∣ ( x 3 − p 3 ) = 0 なので
[ λ , μ , ν ] = [ ∣ a 2 b 2 a 3 b 3 ∣ , ∣ a 3 b 3 a 1 b 1 ∣ , ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ ] [\lambda, \mu, \nu]=\left[\left|\begin{array}{ll}
a_2 & b_2 \\
a_3 & b_3
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}
a_3 & b_3 \\
a_1 & b_1
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{array}\right|\right] [ λ , μ , ν ] = [ ∣ ∣ a 2 a 3 b 2 b 3 ∣ ∣ , ∣ ∣ a 3 a 1 b 3 b 1 ∣ ∣ , ∣ ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ ∣ ] をつかって
[ λ , μ , ν ] [ x 1 − p 1 x 2 − p 2 x 3 − p 3 ] = 0 [\lambda, \mu, \nu]\left[\begin{array}{l}x_1-p_1 \\ x_2-p_2 \\ x_3-p_3\end{array}\right]=0 [ λ , μ , ν ] ⎣ ⎡ x 1 − p 1 x 2 − p 2 x 3 − p 3 ⎦ ⎤ = 0 と表すことができる
ベクトル積で表す平面の方程式 ¶ [ λ , μ , ν ] [ x 1 − p 1 x 2 − p 2 x 3 − p 3 ] = 0 [\lambda, \mu, \nu]\left[\begin{array}{l}x_1-p_1 \\ x_2-p_2 \\ x_3-p_3\end{array}\right]=0 [ λ , μ , ν ] ⎣ ⎡ x 1 − p 1 x 2 − p 2 x 3 − p 3 ⎦ ⎤ = 0 の[ λ , μ , ν ] [\lambda, \mu, \nu] [ λ , μ , ν ] a × b \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} a × b
平面の方程式は、外積と内積を使って
( a × b ) ⋅ ( x − p ) = 0 (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}) = 0 ( a × b ) ⋅ ( x − p ) = 0 と書くことができる
（法線ベクトルa a a a × b \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} a × b
ベクトル積は以下のように（形式的に）書くことができる
a × b = ∣ a 1 b 1 e 1 a 2 b 2 e 2 a 3 b 3 e 3 ∣ = ∣ a b e ∣ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & \boldsymbol{e}_1 \\
a_2 & b_2 & \boldsymbol{e}_2 \\
a_3 & b_3 & \boldsymbol{e}_3
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
\boldsymbol{a} & \boldsymbol{b} & \boldsymbol{e}
\end{array}\right| a × b = ∣ ∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 e 1 e 2 e 3 ∣ ∣ = ∣ ∣ a b e ∣ ∣ そのため、( x − p ) (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}) ( x − p ) e e e x − p x-p x − p
( a × b ) ⋅ ( x − p ) = ∣ a b x − p ∣ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{p}) =
\left|\begin{array}{lll} \boldsymbol{a} & \boldsymbol{b} & \boldsymbol{x}-\boldsymbol{p} \end{array}\right| ( a × b ) ⋅ ( x − p ) = ∣ ∣ a b x − p ∣ ∣ ということになる
