ジョルダン標準形

ジョルダン標準形は、対角化できない行列を対角に近い簡略化した状態に変換する方法

$2 \times 2$のジョルダン標準形¶

$2\times 2$行列$A$は、可逆な行列$P$を用いて$P^{-1} A P$を作ると、必ず次のいずれかにすることができる

ただし、$\lambda_1 \neq \lambda_2$である。これらの3つの行列が$2\times 2$行列の ジョルダン標準形（Jordan normal form） である。

対角化の際に重要だったのは固有値問題である。固有方程式$|A-\lambda I| = 0$の解$\lambda_1, \lambda_2$が固有値である。

解が$\lambda_1 \neq \lambda_2$である（重根でない）場合、異なる固有値に属する固有ベクトルは1次独立なので、固有ベクトルを列ベクトルとして並べた行列$P$は可逆であり、行列$A$は$P$によって

と対角化される。これはジョルダン標準形の1番目のものである。

解が$\lambda_1 = \lambda_2$である（重根の）場合で最も単純な例は

で、この場合はすでに対角化されている。（単位行列$I$を$P$とおけば対角化できる、とも言える）。この場合はジョルダン標準形の2番目のものである。

解が$\lambda_1 = \lambda_2$である（重根の）場合で、上記のようなものとは違う場合（上記の例は$A-\lambda I=O$となるので、今度は$A-\lambda I \neq O$の場合）を考える。

例えば

は1次独立な固有ベクトルが1個しかなく、対角化ができない。この場合でもジョルダン標準形の3番目の形に変換する可逆行列$P$を求める事ができる。