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クロス積（ベクトル積）

ベクトル積

2つの3次元ベクトルa,b∈R3\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^3について

a×b=(∣a2a3b2b3∣,−∣a1a3b1b3∣,∣a1a2b1b2∣)=(a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1)\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \left(\left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{array}\right|,-\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right|\right) = ( a_2 b_3 - a_3 b_2, \ a_3 b_1 - a_1 b_3,\ a_1 b_2 - a_2 b_1 )
(1)

をクロス積（cross product）あるいはベクトル積（vector product）あるいは外積という。

(a×b,c)=(a,b×c)=∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})=\left|\begin{array}{lll} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array}\right|
(6)

が成り立つ。

証明

行列式を第 3 行で展開すれば

∣a2a3b2b3∣c1−∣a1a3b1b3∣c2+∣a1a2b1b2∣c3\left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{array}\right| c_1-\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{array}\right| c_2+\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right| c_3
(7)

これは内積 (a×b,c)(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) の成分による定義に他ならない。

また同じ行列式を第 1 行で展開すれば

a1∣b2b3c2c3∣−a2∣b1b3c1c3∣+a3∣b1b2c1c2∣a_1\left|\begin{array}{ll} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end{array}\right|-a_2\left|\begin{array}{ll} b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \end{array}\right|+a_3\left|\begin{array}{ll} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{array}\right|
(8)

これは 内積 (a,b×c)(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) の成分による定義に他ならない。

証明
⟨a×b,a⟩=(a2b3−a3b2)a1+(a3b1−a1b3)a2+(a1b2−a2b1)a3=a1a2b3−a1a3b2+a2a3b1−a1a2b3+a1a3b2−a2a3b1=(a1a2b3−a1a2b3)+(a2a3b1−a2a3b1)+(a1a3b2−a1a3b2)=0\begin{align} \langle\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a} \rangle &= (a_2 b_3 - a_3 b_2) a_1\\ &+ (a_3 b_1 - a_1 b_3) a_2\\ &+ (a_1 b_2 - a_2 b_1) a_3 \\ &= a_1 a_2 b_3 - a_1 a_3 b_2\\ &+ a_2 a_3 b_1 - a_1 a_2 b_3\\ &+ a_1 a_3 b_2 - a_2 a_3 b_1 \\ &= (a_1 a_2 b_3 - a_1 a_2 b_3)\\ &+ (a_2 a_3 b_1 - a_2 a_3 b_1)\\ &+ (a_1 a_3 b_2 - a_1 a_3 b_2)\\ &= 0 \end{align}
(10)
info - Unknown Directive
ベクトル$\boldsymbol{a} , \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$について以下が成り立つ

$$
\langle\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\rangle
= \langle\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{a}\rangle=\langle\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle
$$
証明

a=(a1,a2,a3)T,b=(b1,b2,b3)T,c=(c1,c2,c3)T\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3)^T, \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3)^T, \boldsymbol{c} = (c_1, c_2, c_3)^Tとする。

∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣\left|\begin{array}{lll} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array}\right|
(11)

を

第1行で展開すれば，

∣b2b3c2c3∣a1−∣b1b3c1c3∣a2+∣b1b2c1c2∣a3=⟨b×c,a⟩\left|\begin{array}{ll} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end{array}\right| a_1 -\left|\begin{array}{ll} b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \end{array}\right| a_2 +\left|\begin{array}{ll} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{array}\right| a_3 = \langle \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{a} \rangle
(12)

第2行で展開すれば，

∣a2a3c2c3∣b1−∣a1a3c1c3∣b2+∣a1a2c1c2∣b3=⟨a×c,b⟩\left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ c_2 & c_3 \end{array}\right| b_1 - \left|\begin{array}{ll} a_1 & a_3 \\ c_1 & c_3 \end{array}\right| b_2 + \left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ c_1 & c_2 \end{array}\right| b_3 = \langle \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b} \rangle
(13)

第3行で展開すれば,

∣a2a3b2b3∣c1−∣a1a3b1b3∣c2+∣a1a2b1b2∣c3=⟨a×b,c⟩\left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{array}\right| c_1-\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{array}\right| c_2+\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right| c_3 = \langle \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle
(14)

ベクトル三重積

(a×b)×c=⟨a,c⟩b−⟨b,c⟩a(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c} = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{b} - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{a}の証明

a×b\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}の各要素を

(a×b)1=a2b3−a3b2(a×b)2=a3b1−a1b3(a×b)3=a1b2−a2b1(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2\\ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3\\ (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1
(16)

とする。

(a×b)×c(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c}の第ii要素を((a×b)×c)i((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c})_iと書くことにすると、

((a×b)×c)1=(a×b)2c3−(a×b)3c2=a3b1c3−a1b3c3−a1b2c2+a2b1c2=(a2c2+a3c3)b1−(b2c2+b3c3)a1=(a1c1+a2c2+a3c3)b1−(b1c1+b2c2+b3c3)a1(a1b1c1−a1b1c1を足した)=⟨a,c⟩b1−⟨b,c⟩a1\begin{align} ((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c})_1 &= (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_2 c_3 - (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})_3 c_2\\ &= a_3 b_1 c_3 - a_1 b_3 c_3 - a_1 b_2 c_2 + a_2 b_1 c_2\\ &= (a_2 c_2 + a_3 c_3) b_1 - (b_2 c_2 + b_3 c_3) a_1\\ &= (a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3) b_1 - (b_1 c_1 + b_2 c_2 + b_3 c_3) a_1 \quad (a_1 b_1 c_1 - a_1 b_1 c_1を足した)\\ &= \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_1 - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle a_1 \end{align}
(17)

同様に

((a×b)×c)2=⟨a,c⟩b2−⟨b,c⟩a2((a×b)×c)3=⟨a,c⟩b3−⟨b,c⟩a3((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c})_2 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_2 - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle a_2\\ ((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c})_3 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_3 - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle a_3\\
(18)

よって

(a×b)×c=⟨a,c⟩b−⟨b,c⟩a(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c} = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{b} - \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{a}
(19)
a×(b×c)=⟨a,c⟩b−⟨a,b⟩c\boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{b} - \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle \boldsymbol{c}の証明

まず、b×c\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}は

b×c=(b2c3−b3c2b3c1−b1c3b1c2−b2c1)\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} = \begin{pmatrix} b_2 c_3 - b_3 c_2\\ b_3 c_1 - b_1 c_3\\ b_1 c_2 - b_2 c_1 \end{pmatrix}
(20)

となる。

a×(b×c)\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})の第ii要素を(a×(b×c))i(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}))_iと書くことにすると、

(a×(b×c))1=a2(b×c)3−a3(b×c)2=a2(b1c2−b2c1)−a3(b3c1−b1c3)=a2b1c2−a2b2c1−a3b3c1+a3b1c3=(a2c2+a3c3)b1−(a2b2+a3b3)c1=⟨a,c⟩b1−⟨a,b⟩c1\begin{align} (\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}))_1 &= a_2 (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_3 - a_3 (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})_2\\ &= a_2 (b_1 c_2 - b_2 c_1) - a_3 (b_3 c_1 - b_1 c_3)\\ &= a_2 b_1 c_2 - a_2 b_2 c_1 - a_3 b_3 c_1 + a_3 b_1 c_3\\ &= (a_2 c_2 + a_3 c_3) b_1 - (a_2 b_2 + a_3 b_3) c_1\\ &= \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_1 - \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle c_1 \end{align}
(21)

同様に

(a×(b×c))2=⟨a,c⟩b2−⟨a,b⟩c2(a×(b×c))3=⟨a,c⟩b3−⟨a,b⟩c3(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}))_2 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_2 - \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle c_2\\ (\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}))_3 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle b_3 - \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle c_3\\
(22)

よって

(a×(b×c))3=⟨a,c⟩b−⟨a,b⟩c(\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}))_3 = \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle \boldsymbol{b} - \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle \boldsymbol{c}
(23)
数学
内積
数学
直積