因数分解 - データサイエンス関連+αのメモ

因数定理¶

例：

$f(x) = x^2 - 2x + 1$ に対して $x = 1$ を代入すると

f(1) = 1 - 2 + 1 = 0

であり、実際 $f(x) = (x-1)^2$ である。

例：

f(x) = x^2 -5x + 6

候補は

\pm \frac{6}{1},\quad \pm \frac{3}{1},\quad \pm \frac{2}{1},\quad \pm \frac{1}{1}

となる。実際に関数に代入してみると

\begin{align} f(6) &= 36 - 30 + 6 = 12\\ f(-6) &= 36 + 30 + 6 = 72\\ f(3) &= 9 - 15 + 6 = 0\\ f(-3) &= 9 + 15 + 6 = -15\\ f(2) &= 4 - 10 + 6 = 0\\ f(-2) &= 4 + 10 + 6 = 20\\ f(1) &= 1 - 5 + 6 = 2\\ f(-1) &= 1 + 5 + 6 = 12\\ \end{align}

で $x = 2, 3$ のとき $f(x)=0$ となっている

組立除法は多項式 $÷(x−p)$ の余りと商を素早く求める手法

の説明がわかりやすいので省く

例：

f(x) = 4x^3 + 6x^2 - 6x - 4

を因数分解せよ

まず因数 $(x-a)$ の $a$ を探索する。候補は

\pm \frac{4}{4},\quad \pm \frac{4}{2},\quad \pm \frac{4}{1},\quad \pm \frac{2}{4},\quad \pm \frac{2}{2},\quad \pm \frac{2}{1},\quad \pm \frac{1}{4},\quad \pm \frac{1}{2},\quad \pm \frac{1}{1}

となる。

まず $\pm 1$ について検討すると

\begin{align} f(1) &= 4 + 6 - 6 - 4 = 0\\ \end{align}

なので $(x-1)$ が因数のひとつであることがわかった。

次に、組立除法で $(4x^3 + 6x^2 - 6x - 4) / (x-1)$ を求める

\begin{array}{ccc} 4 & 6 & -6 & -4\\ & 4 & 10 & 4\\ \hline 4 & 10& 4 & 0 \end{array}

より商の $4x^2 + 10x + 4$ と余り0が得られるので

f(x) = (x - 1)(4x^2 + 10x + 4)

$4x^2 + 10x + 4$ は、たすきがけ法などで解くと $(4x + 2)(x+2)$ なので

f(x) = (x - 1)(4x + 2)(x + 2)