体論

四則演算ができる集合のことを 体 （field, たい）という。

例¶

有理数全体$\mathbb{Q}$、実数全体$\mathbb{R}$、複素数全体$\mathbb{C}$ は体である

ガロア理論¶

ガロア（Galois, 1811-1832）が$n$次方程式の解について探求するためにつくった、体と群の対応について述べた理論。

5次方程式の解の公式¶

2次方程式 $a x^2+b x+c=0$ に関しては、 有名な解の公式

が存在する。

3次方程式と4次方程式も解の公式が存在する。

しかし、5次方程式には解の公式が存在しない（アーベル・ルフィニの定理）。

（※解は存在するが、公式が存在しない。つまり、有理数の加減乗除や$n$乗根を繰り返すことでは表せない。）

5次方程式の解の公式が存在しないことを初めて証明したのはアーベルだが、後にガロアがある群（今日では ガロア群 と呼ばれている群）を導入して、「方程式の解が加減乗除と$n$乗根をとる操作で表される」ことと「ガロア群が可解である」ことを結びつけた。

判別式¶

判別式（discriminant）は多項式の解の存在を判定するもの。解の公式とは異なり、こちらは5次以上の方程式にも判別式が存在する。

（例）2次方程式$ax^2 + bx + c = 0$の判別式は

となる。

と判定する。

参考¶

• MATSUDA, O. (2018). ガロア理論を理解しよう.