環論 - データサイエンス関連+αのメモ

環 (ring) は2つの演算が定められており、いくつかの性質を満たす集合のこと。

環¶

定義

空ではない集合 $R$ が 2 つの演算 $+, \times$ をもち、次の5つの性質を満たすとき、 $R$ は環（ring）であるという。

ただし、以下において $a, b, c$ はすべて $R$ の要素とする。

(1) 結合法則： $+, \times$ についてそれぞれ結合法則が成り立つ：

すべての $a, b, c$ に対して

(a+b)+c=a+(b+c)\\ (a \times b) \times c=a \times(b \times c)

(2) 交換法則： $+$ について交換法則が成り立つ：

すべての $a, b$ に対して、 $a+b=b+a$

(3) 分配法則： $+, \times$ について分配法則が成り立つ：

すべての $a, b, c$ に対して

a \times(b+c)=a \times b+a \times c\\ (a+b) \times c=a \times c+b \times c

(4) 単位元： $+, \times$ についてそれぞれ単位元がある：

すべての $a$ に対して, $a+0=0+a=a$ ,

すべての $a$ に対して， $a \times 1=1 \times a=a$

となるような特別な $R$ の要素 $0,1$ がある・

(5) + の逆元： $+$ については逆元がある：

すべての $a$ に対して，ある要素 $-a$ があり

a+(-a)=(-a)+a=0

整数全体 $\mathbb{Z}$ 、有理数全体 $\mathbb{Q}$ 、実数全体 $\mathbb{R}$ などは足し算・引き算・掛け算が定義されているため、環である
多項式全体のなす環もある：多項式 $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ （ $n$ は0以上の整数、 $a_n,a_{n-1},\dots,a_0$ は実数）の集合 $\mathbb{R}[x]$ も環であり、多項式環 という。

可換環は歴史的には代数的整数論、代数幾何学、不変式論などに由来する。

代数的整数論：整数の拡張を考えるとき、環としての拡張を考えることになる。また素因数分解の一般化や、「イデアル」と呼ばれる概念を導入するために環の概念も整備されていった。
代数幾何学：放物線 $y=x^2$ すなわち $x^2-y=0$ など、座標空間上の「多項式=0」の形で表される図形に関する幾何学。