指数関数と対数関数

指数関数¶

ネイピア数¶

以下で定義される定数 $e$ をネイピア数という

\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e=2.7182818 \cdots

(2)

（英語だとtheがつくかどうかで底の違いを表現する。日本語だとややこしいが、標準的な指数関数は $e$ を底とする指数関数である）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = np.array([np.exp(xi) for xi in x])

fig, ax = plt.subplots(figsize=[4, 2])
ax.plot(x, y, label=r"$\exp(x)$")
ax.set(xlabel="x", ylabel="y")
ax.axhline(color="gray")
ax.axvline(color="gray")
ax.legend()
fig.show()

$x=0$ のとき、 $e^0 = 1$

$x=1$ のとき、 $e^1 = e$

$x=-1$ のとき、 $e^{-1} = \frac{1}{e} = 0.3678 \cdots$

$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ を有限の範囲でいくつか試すと以下のようになる

x = 1
for n in range(1, 6):
    e = (1 + (x / n))**n
    print(f"{n=}, {e=:.3f}")

n=1, e=2.000
n=2, e=2.250
n=3, e=2.370
n=4, e=2.441
n=5, e=2.488

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = np.linspace(1, 100, 101)
E = [(1 + (x / n))**n for n in N]

fig, ax = plt.subplots(figsize=[4, 2])
ax.plot(N, E)
ax.set(
    xlabel="n",
    ylabel=r"$(1 + \frac{x}{n})^n$",
    title=r"$(1 + \frac{x}{n})^n, x=1$",
    yticks=[2, np.exp(1),3],
)
ax.axhline(np.exp(1), color="gray")
ax.axvline(color="gray")
fig.show()

指数(関数)の基本的性質（指数法則）¶

例：

x^{-1}

は？

$x^{-1}$ と $x$ を乗じれば $x^{-1} \times x^1 = x^{-1 + 1} = x^0 = 1$ となる。

なので $x^{-1} = \frac{1}{x}$ となる。一般に $x^{-n}$ も同様。

例：

x^{\frac{1}{2}}

は？

$x^{\frac{1}{2}}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ を乗じれば $x^{\frac{1}{2}} \times x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x$ となる。

なので $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

$x$ を0.01増やすと $y$ が1%増える¶

この誤差は $x$ が大きくなるにつれて大きくなる

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(0, 0.5, 0.01)
y = np.exp(x)

fig, axes = plt.subplots(figsize=[5, 3], nrows=2, sharex=True)
axes[0].plot(x, 1+x, label=r"$1 + x$")
axes[0].plot(x, y, label=r"$exp(x)$")
axes[0].legend()
axes[1].plot(x, y - (1+x), label=r"difference: $exp(x) - (1 + x)$")
axes[1].legend()
axes[0].set(title=r"$exp(x) \approx 1 + x$")
plt.show()

対数関数¶

指数関数の逆関数を 対数関数 （logarithmic function）という。

$a^y = x$ のとき、「 $y$ は $a$ を底とする $x$ の対数」といい

y = \log_{a} x

(8)

と表す。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0.1, 5, 100)
y = np.array([np.log(xi) for xi in x])

fig, ax = plt.subplots(figsize=[4, 2])
ax.axhline(color="gray")
ax.axvline(color="gray")
ax.plot(x, y, label=r"$\log(x)$")
ax.set(xlabel="x", ylabel="y")
ax.legend()
fig.show()

自然対数¶

底（base）がネイピア数 $e$ の対数を自然対数という。

\ln x := \log_e x

(10)

また自然対数は指数関数 $e^x$ の逆関数として定義される（「 $e$ を何乗したら $x$ になるか？」が $\ln x$ ）

y=\ln x \quad \Longleftrightarrow \quad e^y=x

(11)

対数関数の性質¶

$a > 0, a \neq 1, b > 0, M > 0, N > 0$ に対して

\begin{align} \log_a 1 &= 0\\ \log_a a &= 1\\ \log_a \frac{x}{y} &= \log_a x - \log_a y\\ \log_a xy &= \log_a x + \log_a y\\ \log_a x^y &= y \log_a x\\ \log_b x &= \frac{\log_a x}{\log_a b}\\ \end{align}

(12)

例：

a^x

底が $a$ の対数を取る場合

\log_a (a^x) = x

(13)

自然対数を使う場合

\ln (a^x) = x \ln(a) \quad (\because \log x^y = y \log x の性質より)

(14)

元本が2倍になる年数は¶

例：元本が2倍になる年数は？

年率5%の利益が複利で運用できるとして、元本が2倍になるには何年かかる？

利率 $r$ で $n$ 年間複利運用したときの利益率 $\pi$ は

(1 + r)^n = \pi

(15)

$r=0.05$ とすると、 $\pi=2$ になるのは

(1.05)^n = 2

(16)

両辺の対数をとると

\log_{10} (1.05)^n = \log_{10} 2 \\ \to n \log_{10} 1.05 = \log_{10} 2 \\ \to n = \frac{ \log_{10} 2 }{ \log_{10} 1.05 } \approx 14.2

(17)

なので約14年かかることになる。

import numpy as np
np.log10(2) / np.log10(1.05)

14.206699082890461

$\ln(1.01) \approx 0.01$ ¶

x

を1%増やすと

y = \ln(x)

は0.01増える：

\ln( 1 + 0.01) \approx 0.01

$\ln(1.01) \approx 0.01$ はテイラー近似から導出される。まずテイラー近似について述べる

$f(x)=\ln(x+1)$ とおくと、その $n$ 次の微分は

f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(x+1)^n}

(18)

となる。もし $x=0$ なら

f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1)^n} = (-1)^{n-1} (n-1)!

(19)

となる。

これを $x=0$ でのテイラー展開（つまりマクローリン展開）

\sum^{\infty}_{n=0} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = f(0) + f'(0) x + \frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2 + \cdots

(20)

にあてはめると、

\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots

(21)

となる。これは $x$ が極めて小さな値（ $x \approx 0$ ）であれば $x^2$ や $x^3$ といった値は非常に小さくなるため、 $\ln(1+x) \approx x$ となる。

よって $\ln( 1 + 0.01) \approx 0.01$ となる

数値計算的に確かめると、以下のようになる

import numpy as np
x = 0.01
print(f"log: {np.log(1 + x):.7f}")
print(f"approx 1: {x:.7f}")
print(f"approx 2: {x - (x**2 / 2):.7f}")
print(f"approx 3: {x - (x**2 / 2) + (x**3 / 3):.7f}")

log: 0.0099503
approx 1: 0.0100000
approx 2: 0.0099500
approx 3: 0.0099503

指数関数¶

ネイピア数¶

指数(関数)の基本的性質（指数法則）¶

xxxを0.01増やすとyyyが1%増える¶

対数関数¶

自然対数¶

対数関数の性質¶

元本が2倍になる年数は¶

ln⁡(1.01)≈0.01\ln(1.01) \approx 0.01ln(1.01)≈0.01¶

$x$ を0.01増やすと $y$ が1%増える¶

$\ln(1.01) \approx 0.01$ ¶