極限 - データサイエンス関連+αのメモ

関数の極限¶

関数 $y=f(x)$ において、変数 $x$ が一定な数 $a$ に限りなく近づいていくとき、それにつれて関数 $f(x)$ の値が一定な値 $b$ に限りなく近づくとする。

このことを

$x$ が $a$ に限りなく近づくとき、関数 $f(x)$ には極限が存在して、その 極限値 は $b$ である

あるいは

関数 $f(x)$ は $b$ に収束する

という。そして

\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b \quad \text { または } \quad f(x) \rightarrow b \quad(x \rightarrow a)

(1)

と表す。

例：関数 $f(x)=x^2$ において、変数 $x$ が2に限りなく近づくとき、 $f(x)$ の値は4に限りなく近づく

変数 $x$ が数列

2.1,2.01,2.001, \cdots, 2+\left(\frac{1}{10}\right)^n, \cdots

(2)

の値を取り2に近づいていくとき、関数 $f(x)=x^2$ の値は

4.41,4.0401,4.004001, \cdots, 4+4\left(\frac{1}{10}\right)^n+\left(\frac{1}{10}\right)^{2 n}, \cdots

(3)

関数の極限の性質

関数の極限について、次のことが成り立つ

I. $f(x)=C(C$ : 定数 $)$ ならば,

\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=C

(4)

II. $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=B$ ならば,

$\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} k f(x)=k A \quad(k$ : 定数)
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow a}\{f(x) \pm g(x)\}=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \pm \lim _{x \rightarrow a} g(x)=A \pm B$
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow a}\{f(x) \cdot g(x)\}=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} g(x)=A \cdot B$
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}{\lim _{x \rightarrow a} g(x)}=\frac{A}{B} \quad(B \neq 0)$

右極限、左極限¶

例：

\lim _{x \rightarrow+0} \frac{|x|}{x}=1, \quad \lim _{x \rightarrow-0} \frac{|x|}{x}=-1

(6)

絶対値の定義

|a| = \begin{cases} a & (a > 0)\\ -a & (a < 0) \end{cases}

(7)

より、 $x > 0$ ならば $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$ $x < 0$ ならば $\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$ となるため。

この例では、関数 $f(x) = |x|/x$ は $x=0$ では定義されていないことがわかる。ここからわかるように、 $\lim_{x\to a} f(x) = b$ は $x=a$ のとき $f(a)=b$ であることを主張しているわけではない。

正の無限大と負の無限大

変数 $x$ の値が正で限りなく大きくなるとき 正の無限大 になるといい、 $x \rightarrow+\infty$ (または単に $x \rightarrow \infty$ ) と表わす。

変数 $x$ が負でその絶対値が限りなく大きくなるとき 負の無限大 になるといい $x \rightarrow-\infty$ で表わす.

変数 $x$ が一定な値 $a$ に限りなく近づくとき、関数 $f(x)$ の値が正で限りなく大きくなっていくならば $x$ が $a$ に近づいたときの関数 $f(x)$ の極限は 正の無限大 であるといい、

\lim_{x\to a} f(x) = + \infty

(8)

で表す。極限が 負の無限大 になるなら

\lim_{x\to a} f(x) = -\infty

(9)

で表す。

例：

\lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = 0, \quad \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{1}{x} = 0

(10)

変数 $x$ が $-1, -2, \cdots, -n, \cdots$ と絶対値が無限大に近づく場合、 $f(x)=1/x$ は $-1, -1/2, \cdots, -1/n, \cdots$ と0に近づくため。

$\varepsilon - \delta$ 論法¶

関数の極限

\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b

(11)

が存在するためには $f(x)\to b$ を $x\to a$ で保証できればよいため、 $x\to a$ で $|f(x) - b| < \varepsilon$ になることを保証できれば、関数の極限が存在することになる

よって、関数の極限についてのより厳密な定義は次のようになる

例：

\lim _{x \rightarrow 2} x^2=4

(12)

を証明せよ。

解：

任意の正の数 $\varepsilon$ に対して $0<|x-2|<\delta$ ならば $\left|x^2-4\right|<\varepsilon$ となるような $\delta$ を見つけなければならない。

$0<|x-2|<\delta$ ならば

\begin{aligned} \left|x^2-4\right| & =|(x+2)(x-2)|=|(x-2)+4| \cdot|x-2| \\ & \leqq|x-2|^2+4|x-2|<\delta^2+4 \delta \end{aligned}

(13)

よって $\delta$ として, 1 か $\varepsilon / 5$ の小さい方をとれば

$\varepsilon \geqq 5$ ならば $\delta=1$ で, $\left|x^2-4\right|<\delta^2+4 \delta=5 \leqq \varepsilon$
$\varepsilon \leqq 5$ ならば $\delta=\varepsilon / 5$ で, $\left|x^2-4\right|<\delta^2+4 \delta<5 \delta=\varepsilon$

すなわち $|x^2 - 4| < \varepsilon$ となる。したがって $\lim_{x\to2} x^2 = 4$

実際に数値を入れて確かめるとする。

$|x^2 - 4| < 0.1$ とするには、 $\delta = \varepsilon / 5 = 0.1 / 5 = 0.02$

$0<|x-2|<0.02$ より、 $1.98 < x < 2.02$ だから、 $3.9204<x^2<4.0804$ のため $-0.0796 < x^2 - 4 < 0.0804$ であり $|x^2 - 4|<0.1$ が成り立っている

連続¶

例：

$f(x)=x^2$ は $x=2$ で連続である。なぜなら、 $\lim_{x\to 2} f(x) = 4 = f(2)$ であるため。

別の言い方をすると

任意の正の数 $\varepsilon$ に対して、適当な $\delta$ をとって、 $|x-a|<\delta$ であるすべての $x$ について $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ が成り立つ

連続関数の性質¶

例えば 多項式（polynomial）

a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n \quad (n: \text{自然数})

(15)

は $-\infty < x < \infty$ で連続である。

また、有理関数（rational function）

\frac{a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n}{b_0 x^m+b_1 x^{m-1}+\cdots+b_m} \quad(m, n: \text { 自然数 })

(16)

は分母が0になる点を覗いていたるところで連続である

例えば $\sin (x^2)$ や $\sin (\sin x)$ は $-\infty<x<\infty$ で連続である

例： $y=2x$ と $y=x/2$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 1, 50)
y1 = 2*x
y2 = x/2

fig, ax = plt.subplots(figsize=[4, 2])
ax.plot(x, y1, label=r"$y = 2x$")
ax.plot(x, y2, label=r"$y = x/2$")
ax.legend()
fig.show()