対称行列の直交行列による対角化

$(1) \implies (2)$について：

$A$は複素数の範囲では重複をふくめて$n$個の固有値をもつという定理があり、また実対称行列の固有値はすべて実数であるという定理も存在するため、$A$の固有値はすべて実数である。

三角化に関する定理より、直交行列$P$が存在し、

と三角化できる。

仮定より$P^T = P^{-1}$であり、$A^T=A$であるから、

すなわち、三角行列$P^{-1} A P$も対称行列であるため、非対角要素はすべて0であることがわかる

$(2) \implies (1)$について

$A$は直交行列$P$によって

と対角化できるとする。

対角行列であるから、$(P^{-1} A P)^T = P^{-1} A P$を満たす。

$P^{-1} = P^T$であるから、

であり、$(P^{-1} A P)^T = P^{-1} A^T P$に左から$P$、右から$P^{-1}$を掛けることで$A=A^T$が得られ、$A$は対称行列であることがわかる