漸近オーダーの表記法

ランダウの記号¶

ランダウの記号（Landau’s symbol）は関数や数列の漸近挙動を大まかに把握するときに使われる記法。

例えば $a_n = n^{-2}, b_n = n^{-1}$ のとき、

\frac{a_n}{b_n} = \frac{1/n^2}{1/n} = \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0 , \hspace{1em} n \to \infty

(1)

という関係があるが、 $n$ を増やしていったときに $a_n$ のほうがより早く0へ収束する。

このように漸近的（ $n \to \infty$ ）には $a_n$ が $n^{-1}$ 「より小さい」ということを

a_n = o(n^{-1}), \hspace{1em} n \to \infty

(2)

と書く。

（定義）キャピタル・オーダー

数列 $a_n, b_n (n \in \mathbb{N})$ に対して、 $a_n / b_n (n \to \infty)$ が有界となるとき、すなわち、ある定数 $M>0$ が存在して

Undefined control sequence: \DeclareMathOperator at position 1: \̲D̲e̲c̲l̲a̲r̲e̲M̲a̲t̲h̲O̲p̲e̲r̲a̲t̲o̲r̲*{\liminf}{\lim…

\DeclareMathOperator*{\liminf}{\lim\inf}
\DeclareMathOperator*{\limsup}{\lim\sup}
-M < \liminf_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}
\leq \limsup_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} < M

となるとき、

a_n = O(b_n), \hspace{1em} n \to \infty

(5)

と書き、 $a_n$ は $b_n$ の キャピタル・オーダー （capital order）あるいは ラージ・オーダー であるという。

特に、 $a_n / b_n\to 1 \ (n \to \infty)$ となるとき

a_n \sim b_n, \quad( n \to \infty)

(6)

と書いて、 $a_n$ と $b_n$ は漸近同等（asymptotically equivalent）という。

例：無限小¶

0に近づく独立変数 $h$ （独立無限小量 という）に依存する量 $R(h)$ が $h\to 0$ とともに0に近づくとき、 $R(h)$ を $h$ の 無限小量 あるいは 無限小 という。

ある $R(h)$ を標準的な無限小量 $h^n$ と比較してランダウの記号を使って表す場合、以下のようになる。

確率的ランダウの記号¶

ランダウの記号の確率バージョン

例：

$X_n \overset{p}{\to} X$ なる確率変数列 $\{X_n\}$ に対して

X_n = X + o_p(1), \hspace{1em} n \to \infty

(11)

と書くことができる。 $X_n$ を決める主要な項は $X$ であり、残りは誤差のようなもの、ということ。

$\sup$ は supremum（上限）
任意の $n\in\mathbb{N}$ について上限の $P(|X_n| > M)$ が $M\to\infty$ の極限で0になる？

確率変数 $X$ に対する単独のtightnessは

\lim_{M\to\infty} P(|X| > M) = 0

(14)

例： $\sqrt{n}$ -consistency¶

ある推定量 $\theta_0$ が真の推定量 $\theta$ について

\theta_0 - \theta = O_p(1/\sqrt{n}) , \hspace{1em} n \to \infty

(17)

である（ $1/\sqrt{n}$ と同程度のレートでゼロに収束する）とき、この推定量は $\sqrt{n}$ -consistencyと呼ばれる

参考文献¶

清水泰隆（2021）『統計学への確率論，その先へ』