DownloadsDownload大数の法則mitama証明の前提知識¶証明いまYYYをY={0, if X<cc, if X≥cY= \begin{cases} 0, & \text { if } X<c \\ c, & \text { if } X \geq c \end{cases}Y={0,c, if X<c if X≥c(3)と定義する。このとき常にY≤XY\leq XY≤Xである。したがってE[Y]≤E[X]E[Y]\leq E[X]E[Y]≤E[X]である。E[Y]=0×P(Y=0)+c×P(Y=c)=cP(X≤c)\begin{align} E[Y] &= 0\times P(Y=0) + c \times P(Y=c)\\ &=cP(X\leq c) \end{align}E[Y]=0×P(Y=0)+c×P(Y=c)=cP(X≤c)(4)であるからE[Y]≤E[X]E[Y]\leq E[X]E[Y]≤E[X]はcP(X≥c)≤E[X]cP(X\geq c) \leq E[X]cP(X≥c)≤E[X](5)となる。cccで両辺を割ればP(X≥c)≤E[X]cP(X \geq c) \leq \frac{E[X]}{c}P(X≥c)≤cE[X](6)証明Y=(X−μ)2Y=(X-\mu)^2Y=(X−μ)2とおき、YYYにマルコフの不等式を適用すれば、P(Y≥c2)≤E[Y]c2=σ2c2P(Y \geq c^2) \leq \frac{E[Y]}{c^2} = \frac{\sigma^2}{c^2}P(Y≥c2)≤c2E[Y]=c2σ2(8)ここでY≥c2⟺∣X−μ∣≥cY \geq c^2 \Longleftrightarrow|X-\mu| \geq cY≥c2⟺∣X−μ∣≥c(9)であるからP(Y≥c2)=P(∣X−μ∣≥c)P(Y \geq c^2) = P(|X - \mu| \geq c)P(Y≥c2)=P(∣X−μ∣≥c)(10)となりP(∣X−μ∣≥c)≤σ2c2P(|X-\mu|\geq c) \leq \frac{\sigma^2}{c^2}P(∣X−μ∣≥c)≤c2σ2(11)が成立する証明¶ε>0\varepsilon > 0ε>0を任意の定数とする。E[Xˉn]=μ,Var[Xˉn]=σ2/nE[\bar{X}_n] = \mu, \mathrm{Var}[\bar{X}_n] = \sigma^2/nE[Xˉn]=μ,Var[Xˉn]=σ2/nであるから、Xˉ\bar{X}Xˉにチェビシェフの不等式を適用すればP(∣Xˉn−μ∣≥ε)≤σ2nε2P(|\bar{X}_n-\mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{n \varepsilon^2}P(∣Xˉn−μ∣≥ε)≤nε2σ2(12)となる。ここでn→∞n \to \inftyn→∞とおけば右辺は0に収束するから∀ε>0,limn→∞P(∣Xˉn−μ∣≥ε)=0\forall \varepsilon > 0, \quad \lim_{n\to \infty} P(|\bar{X}_n-\mu| \geq \varepsilon) = 0∀ε>0,n→∞limP(∣Xˉn−μ∣≥ε)=0(13)よってXˉ→pμ,(n→∞)\bar{X} \overset{p}{\to} \mu, \quad (n \to \infty)Xˉ→pμ,(n→∞)(14)