ベルヌーイ分布 - データサイエンス関連+αのメモ

概要¶

$p$ の確率で「成功」、 $1-p$ の確率で「失敗」する実験を行うことを ベルヌーイ試行 という。ベルヌーイ分布は、このベルヌーイ試行の結果を表す最も基本的な離散確率分布であり、多くの離散確率分布の基礎となる。

確率質量関数¶

確率変数 $X$ がベルヌーイ分布 $\text{Bernoulli}(p)$ に従うとき、確率質量関数（PMF）は次のように表される。

P(X=x|p) = \begin{cases} p & x = 1 \\ 1-p & x = 0 \end{cases}

$p$ : 成功確率 ( $0 \leq p \leq 1$ )
$x=1$ : 成功、 $x=0$ : 失敗

通常はこれをひとつにまとめて書く

P(X=x|p) = p^x (1-p)^{1-x}, \quad x \in \{0, 1\}

累積分布関数¶

F(x) = \begin{cases} 1-p & 0 \leq x < 1 \\ 1 & x \geq 1 \end{cases}

期待値・分散¶

期待値¶

E[X] = \sum_{x \in \{0,1\}} x \cdot P(X=x) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p

分散¶

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$ を用いる。 $X \in \{0, 1\}$ より $X^2 = X$ であるから、

E[X^2] = E[X] = p

したがって、

V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import bernoulli

x = [0, 1]
p_values = [0.2, 0.5, 0.7]

fig, axes = plt.subplots(1, len(p_values), figsize=[9, 2.5], sharey=True)

for ax, p in zip(axes, p_values):
    pmf = bernoulli.pmf(x, p)
    ax.bar(x, pmf, width=0.4, color="steelblue", edgecolor="black")
    ax.set(title=f"Bernoulli(p={p})", xlabel="x", xticks=[0, 1], ylim=[0, 1])

axes[0].set_ylabel("P(X=x)")
fig.tight_layout()

<Figure size 900x250 with 3 Axes>

性質¶

二項分布 $B(1, p)$ の特殊ケース
指数型分布族に属する
十分統計量は $\sum X_i$

応用例¶

コインの表裏
顧客の成約可否
A/Bテストでのコンバージョン
品質管理での良品・不良品判定