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負の二項分布

概要

負の二項分布（negative binomial distribution）は、独立なベルヌーイ試行においてrr回目の成功が起こるまでの失敗回数の分布である。幾何分布の一般化であり、r=1r=1のとき幾何分布に一致する。

ポアソン分布では期待値と分散が等しいという制約があるが、負の二項分布はこの制約がなく**過分散（overdispersion）**を扱えるため、カウントデータの分析において重要な代替モデルとなる。

確率質量関数

P(X=k∣r,p)=(k+r−1k)pr(1−p)k,k=0,1,2,…P(X=k \mid r, p) = \binom{k+r-1}{k} p^r (1-p)^k, \quad k=0,1,2,\dots
(1)

  • r>0r > 0: 成功回数（自然数。一般化する場合は正の実数）

  • pp: 各試行での成功確率 (0<p≤10 < p \leq 1)

rrが正の実数の場合、二項係数は次のように一般化される：

(k+r−1k)=Γ(k+r)k! Γ(r)\binom{k+r-1}{k} = \frac{\Gamma(k+r)}{k!\,\Gamma(r)}
(2)

累積分布関数

F(k)=P(X≤k)=Ip(r,k+1)F(k) = P(X \leq k) = I_p(r, k+1)
(3)

ここでIpI_pは正則化不完全ベータ関数である。

期待値・分散

E[X]=r(1−p)pE[X] = \frac{r(1-p)}{p}
(4)
V[X]=r(1−p)p2V[X] = \frac{r(1-p)}{p^2}
(5)

分散は次のように書き直すことができる：

V[X]=E[X]+(E[X])2rV[X] = E[X] + \frac{(E[X])^2}{r}
(6)

すなわちV[X]>E[X]V[X] > E[X]が常に成り立ち、ポアソン分布（V[X]=E[X]V[X]=E[X]）に比べて過分散となる。r→∞r \to \inftyのとき第2項が消え、ポアソン分布に近づく。

図

Source
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib_fontja
import numpy as np
from scipy.stats import nbinom

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=[8, 3])

params = [(3, 0.3), (5, 0.5), (10, 0.5), (3, 0.8)]
for r, p in params:
    k = np.arange(0, 25)
    pmf = nbinom.pmf(k, n=r, p=p)
    axes[0].plot(k, pmf, 'o-', markersize=4, label=f"r={r}, p={p}")

    cdf = nbinom.cdf(k, n=r, p=p)
    axes[1].step(k, cdf, where='mid', label=f"r={r}, p={p}")

axes[0].set(title="PMF", xlabel=r"k（失敗回数）", ylabel="P(X=k)")
axes[0].legend()
axes[1].set(title="CDF", xlabel="k", ylabel="F(k)")
axes[1].legend()
fig.tight_layout()
<Figure size 800x300 with 2 Axes>

性質

  • r=1r=1のとき幾何分布に一致する

  • 再生性: X1∼NB(r1,p),X2∼NB(r2,p)X_1 \sim \text{NB}(r_1, p), X_2 \sim \text{NB}(r_2, p)が独立ならX1+X2∼NB(r1+r2,p)X_1 + X_2 \sim \text{NB}(r_1+r_2, p)

  • ポアソン-ガンマ混合モデル: X∣λ∼Poi(λ)X \mid \lambda \sim \text{Poi}(\lambda)でλ∼Gamma(r,(1−p)/p)\lambda \sim \text{Gamma}(r, (1-p)/p)のとき、XXの周辺分布はNB(r,p)\text{NB}(r, p)となる。この解釈により、負の二項分布は「発生率に個体差があるポアソン過程」とみなせる

  • r→∞r \to \inftyでr(1−p)/p=μr(1-p)/p = \muを一定に保つとポアソン分布Poi(μ)\text{Poi}(\mu)に収束する

応用例

  • 過分散のあるカウントデータの分析（ポアソン回帰の代替としての負の二項回帰）

  • 生態学における個体数のモデリング

  • RNA-seqデータにおける遺伝子発現量の分析（DESeq2等で使用）

  • 保険数理における事故件数のモデリング

統計学
ポアソン分布
統計学
超幾何分布