二項分布

概要¶

ベルヌーイ試行を独立に $n$ 回行ったときの「成功」の回数の分布。最も基本的な離散確率分布の一つであり、品質管理、医学統計、マーケティングなど幅広い分野で利用される。

確率質量関数¶

P(X=k \mid n, p) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,\dots,n

(1)

パラメータ:

$n$ : 試行回数（自然数）
$p$ : 各試行での成功確率 ( $0 \leq p \leq 1$ )
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ : 二項係数

導出¶

$i=1,2,\dots,n$ に対して確率変数 $X_i$ を成功のとき1、失敗のとき0をとるものとすると、「成功」の回数は $Y=\sum^n_{i=1}X_i$ と表すことができる。

$Y=k$ となる確率は以下のようになる。

P(Y=k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}

(2)

例：

Y=2

となる確率の場合

成功が2回、失敗が $n-2$ 回とする。

「成功」の事象を $A_i$ 、「失敗」の事象を $A_i^c$ とすると、最初の2回が「成功」となる事象の確率は

P(A_1 \cap A_2 \cap A_3^c \cap \cdots \cap A_n^c)

(3)

と表すことができる。

試行の独立性と $P(A_i)=p, P(A_i^c)=1-p$ から

\begin{align} &P(A_1 \cap A_2 \cap A_3^c \cap \cdots \cap A_n^c)\\ &= P(A_1)P(A_2)P(A_3^c)\times\cdots\times P(A_n^c)\\ &= p^2(1-p)^{n-2} \end{align}

(4)

と書くことができる。

$n$ 回試行して2回成功する事象の組み合わせは $A_1 \cap A_2^c \cap A_3 \cap \cdots \cap A_n^c$ や $A_1^c \cap A_2^c \cap A_3 \cap \cdots \cap A_n$ など他にも考えられ、その場合の数は組み合わせの数になるため $\binom{n}{2}$ となる。

したがって、 $Y=2$ となる確率は

P(Y=2) = \binom{n}{2} p^2 (1 - p)^{n-2}

(5)

となり、この2を $k$ にすれば上記のものになる。

累積分布関数¶

F(k) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}

(6)

二項分布の累積分布関数には閉じた形の式は存在しない。正則化不完全ベータ関数を用いて

F(k; n, p) = I_{1-p}(n - k, k + 1)

(7)

と表すこともできる。

期待値・分散¶

E[X] = np

(8)

V[X] = np(1-p)

(9)

導出¶

$X = \sum_{i=1}^n X_i$ （ $X_i \sim \text{Bernoulli}(p)$ が互いに独立）と表せることを利用する。

ベルヌーイ分布の期待値は $E[X_i] = p$ 、分散は $V[X_i] = p(1-p)$ であるから、期待値の線形性より

E[X] = E\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = np

(10)

$X_i$ が互いに独立であるため、分散についても

V[X] = V\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum_{i=1}^n V[X_i] = np(1-p)

(11)

が成り立つ。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import binom

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=[8, 3])

# PMF
params = [(10, 0.3), (10, 0.5), (10, 0.7), (20, 0.5)]
for n, p in params:
    k = np.arange(0, n + 1)
    pmf = binom.pmf(k, n=n, p=p)
    axes[0].plot(k, pmf, 'o-', markersize=4, label=f"n={n}, p={p}")

axes[0].set(title="PMF", xlabel="k", ylabel="P(X=k)")
axes[0].legend()

# CDF
for n, p in params:
    k = np.arange(0, n + 1)
    cdf = binom.cdf(k, n=n, p=p)
    axes[1].step(k, cdf, where='mid', label=f"n={n}, p={p}")

axes[1].set(title="CDF", xlabel="k", ylabel="F(k)")
axes[1].legend()
fig.tight_layout()

性質¶

$n=1$ のときベルヌーイ分布に一致
再生性： $X_1 \sim B(n_1, p), X_2 \sim B(n_2, p)$ が独立なら $X_1+X_2 \sim B(n_1+n_2, p)$
$n$ が大きく $p$ が小さいとき、ポアソン分布 $\text{Poi}(np)$ で近似可（ポアソンの小数の法則）
$np$ と $n(1-p)$ がともに十分大きいとき、正規分布 $N(np, np(1-p))$ で近似可（中心極限定理）
最頻値は $\lfloor (n+1)p \rfloor$ または $\lfloor (n+1)p \rfloor - 1$

応用例¶

品質管理における不良品数のモデリング
臨床試験における治療成功数
A/Bテストでのコンバージョン数
選挙における得票数の予測

概要¶

確率質量関数¶

導出¶

累積分布関数¶

期待値・分散¶

導出¶

性質¶

応用例¶

参考文献¶