検定の意思決定の誤り ¶ 母数空間Θ \Theta Θ Θ 0 , Θ 1 \Theta_0, \Theta_1 Θ 0 , Θ 1 θ \theta θ H 0 H_0 H 0 H 1 H_1 H 1
H 0 : θ ∈ Θ 0 vs H 1 : θ ∈ Θ 1 H_0: \theta \in \Theta_0 \text { vs } H_1: \theta \in \Theta_1 H 0 : θ ∈ Θ 0 vs H 1 : θ ∈ Θ 1 帰無仮説を受容する意思決定をd = 0 d=0 d = 0 d = 1 d=1 d = 1 D = { 0 , 1 } D=\{0, 1\} D = { 0 , 1 }
帰無仮説が正しいとき ( θ ∈ Θ 0 ) (\theta \in \Theta_0) ( θ ∈ Θ 0 ) ( d = 1 ) (d=1) ( d = 1 ) 第1種の過誤（error of the first kind） や 偽陽性 とよぶ。また対立仮説が正しいとき ( θ ∈ Θ 1 ) (\theta \in \Theta_1) ( θ ∈ Θ 1 ) ( d = 0 ) (d=0) ( d = 0 ) 第2種の過誤（error of the second kind） や 偽陰性 とよぶ。
過誤まとめ
第1種の過誤（type I error）
第2種の過誤（type II error）
これら2種類の誤りを統一的に表現する関数が検出力関数
損失関数 ¶ 実際には正しくない仮説を採択する意思決定をとったときを「損失」として表し、意思決定の損失関数を以下のような損失関数L ( θ , d ) L(\theta, d) L ( θ , d )
L ( θ , 0 ) = { 0 , if θ ∈ Θ 0 a , if θ ∈ Θ 1 L ( θ , 1 ) = { 0 , if θ ∈ Θ 1 b , if θ ∈ Θ 0 \begin{aligned}
L(\theta, 0) &= \begin{cases}
0, & \text { if } \theta \in \Theta_0 \\
a, & \text { if } \theta \in \Theta_1
\end{cases}
\\
L(\theta, 1) &= \begin{cases}
0, & \text { if } \theta \in \Theta_1 \\
b, & \text { if } \theta \in \Theta_0
\end{cases}
\end{aligned} L ( θ , 0 ) L ( θ , 1 ) = { 0 , a , if θ ∈ Θ 0 if θ ∈ Θ 1 = { 0 , b , if θ ∈ Θ 1 if θ ∈ Θ 0 （※第1種の過誤を犯したときa a a b b b
単純にa = b = 1 a=b=1 a = b = 1 a ≠ b a\neq b a = b
例えばWebサイトの改善のA/Bテストにおいて第1種の過誤は「帰無仮説が正しい（A案とB案に差がない）のに棄却してB案を採用する」であり、AとBに差がないため誤ってBを採用しても損失は少ないと考えられるが、第2種の過誤（AよりBのほうが優れているのにBを却下してAを使い続ける）は機会損失を招く
検出力関数 ¶ 検定問題における決定関数 （検定関数 test function とよばれる） をδ : X → D \delta: \mathcal{X} \to D δ : X → D δ \delta δ X = x X=x X = x
損失関数の期待値である リスク関数 は R ( θ , δ ) = E θ [ L ( θ , δ ( X ) ) ] R(\theta, \delta) = E_{\theta}[L(\theta, \delta(X))] R ( θ , δ ) = E θ [ L ( θ , δ ( X ))]
ところで、
β δ ( θ ) = E θ [ δ ( X ) ] = P θ ( δ ( X ) = 1 ) \beta_\delta(\theta)=E_\theta[\delta(X)]=P_\theta(\delta(X)=1) β δ ( θ ) = E θ [ δ ( X )] = P θ ( δ ( X ) = 1 ) と定義すると、δ \delta δ
R ( θ , δ ) = { β δ ( θ ) , if θ ∈ Θ 0 (=第1種の過誤の確率) 1 − β δ ( θ ) , if θ ∈ Θ 1 (=第2種の過誤の確率) R(\theta, \delta)= \begin{cases}
\beta_\delta(\theta), & \text { if } \theta \in \Theta_0 & \text{ (=第1種の過誤の確率) } \\
1-\beta_\delta(\theta), & \text { if } \theta \in \Theta_1 & \text{ (=第2種の過誤の確率) }
\end{cases} R ( θ , δ ) = { β δ ( θ ) , 1 − β δ ( θ ) , if θ ∈ Θ 0 if θ ∈ Θ 1 (= 第 1 種の過誤の確率 ) (= 第 2 種の過誤の確率 ) β δ ( θ ) \beta_\delta(\theta) β δ ( θ ) 検出力関数（power function） といい、その値を 検出力（power） という。
R ( θ , δ ) R(\theta, \delta) R ( θ , δ ) θ ∈ Θ 0 \theta \in \Theta_0 θ ∈ Θ 0 d = δ ( X ) = 1 d=\delta(X)=1 d = δ ( X ) = 1
R ( θ , δ ) R(\theta, \delta) R ( θ , δ ) θ ∈ Θ 1 \theta \in \Theta_1 θ ∈ Θ 1 d = δ ( X ) = 0 d=\delta(X)=0 d = δ ( X ) = 0 1 − β δ ( θ ) 1-\beta_\delta(\theta) 1 − β δ ( θ )
例：不良率の検定
10個の製品を検査して、もし1個以上の不良品があれば帰無仮説 H 0 : p ≤ p 0 H_0: p \leq p_0 H 0 : p ≤ p 0 p 0 = 0.01 p_0 = 0.01 p 0 = 0.01
この場合の検定関数は
δ ( x ) = { 1 , if x ≥ 1 0 , otherwise \delta(x) =
\begin{cases}
1, & \text { if } x \geq 1 \\
0, & \text { otherwise }
\end{cases} δ ( x ) = { 1 , 0 , if x ≥ 1 otherwise となる。X X X B ( 10 , p ) B(10, p) B ( 10 , p )
β δ ( p ) = P ( X ≥ 1 ) = 1 − P ( X = 0 ) = 1 − ( 1 − p ) 10 \beta_\delta(p)=P(X \geq 1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^{10} β δ ( p ) = P ( X ≥ 1 ) = 1 − P ( X = 0 ) = 1 − ( 1 − p ) 10 で与えられる。p 0 = 0.01 p_0 = 0.01 p 0 = 0.01 β δ ( p ) = 1 − ( 1 − p ) 10 = 0.0956 \beta_\delta(p) = 1-(1-p)^{10} = 0.0956 β δ ( p ) = 1 − ( 1 − p ) 10 = 0.0956