Skip to article frontmatterSkip to article content
Site not loading correctly?

This may be due to an incorrect BASE_URL configuration. See the MyST Documentation for reference.

定積分

関数y=f(x)y=f(x)のグラフを考える。f(x)f(x)は区間a≤x≤ba\leq x \leq bで連続であり正であるとする。その曲線、x=a,x=bx=a, x=bで囲まれた面積をSSとする

Source
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 7, 300)
y = 0.5 * x + np.sin(x)
xticks = []
xticklabels = []

fig, ax = plt.subplots(figsize=[5,3])
ax.plot(x, y)

a = 1
ax.axvline(a, linestyle="--")
xticks.append(a)
xticklabels.append("$a$")

b = 6
ax.axvline(b, linestyle="--")
xticks.append(b)
xticklabels.append("$b$")

ax.set(xlabel="x", ylabel="y", xticks=xticks, xticklabels=xticklabels, yticks=[])
ax.fill_between(x[(a <= x) & (x <= b)], y[(a <= x) & (x <= b)], color='lightblue', alpha=0.5)
ax.text(a + 0.4 + (b - a) // 2, 0.5, "S", color="steelblue")

ax.spines['top'].set_visible(False)
ax.spines['right'].set_visible(False)
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['left'].set_position('zero')

fig.show()
<Figure size 500x300 with 1 Axes>

区間a≤x≤ba\leq x \leq bを

a=x0<x1<x2<⋯<xk−1<xk<⋯<xn−1<b=xna=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{k-1}<x_k<\cdots<x_{n-1}<b=x_n
(1)

であるようなn+1n+1個の点x0,x1,x2,⋯ ,xn−1,xnx_0, x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}, x_nによってnn個の小区間I1,I2,⋯ ,In−1,InI_1, I_2, \cdots, I_{n-1}, I_nに分割する。小区間IkI_kの大きさはΔxk=xk−xk−1\Delta x_k = x_k - x_{k-1}である。

点xkx_kにxx軸に垂直な直線をひくと、面積SSはnn個の「帯」に分けられる。 小区間の中の点をξk\xi_kとすると、「帯」の面積は底辺の長さがΔxk\Delta x_kで高さがyk=f(ξk)y_k=f(\xi_k)の長方形の面積f(ξk)Δxkf(\xi_k)\Delta x_kで近似する。

このとき、求める面積SSは長方形の面積の和

Sn=∑k=1nf(ξk)ΔxkS_n = \sum^n_{k=1} f(\xi_k)\Delta x_k
(2)

で近似される。このような和を積和と呼ぶことにする。

Source
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return 0.5 * x + np.sin(x)

x = np.linspace(0, 7, 300)
y = f(x)
xticks = []
xticklabels = []

fig, ax = plt.subplots(figsize=[5,3])
ax.plot(x, y)

a = 1
ax.axvline(a, linestyle="--")
xticks.append(a)
xticklabels.append("$a$")

b = 6
ax.axvline(b, linestyle="--")
xticks.append(b)
xticklabels.append("$b$")

ax.fill_between(x[(a <= x) & (x <= b)], y[(a <= x) & (x <= b)], color='lightblue', alpha=0.5)
ax.text(a + 0.4 + (b - a) // 2, 0.5, "S", color="steelblue")

# 「帯」
x_ks = [a + i for i in range(1, b)]
for k, x_k in enumerate(x_ks):
    ax.axvline(x_k, ymax=f(x_k) / max(y), linestyle="--")
    xticks.append(x_k)
    xticklabels.append(f"$x_{k}$")

# 長方形
import matplotlib.patches as patches
linesettings = dict(color="darkorange", alpha=0.7)
delta_x = x_ks[2] - x_ks[1]
rect = patches.Rectangle(
    xy=(x_ks[1], 0),
    width=delta_x,
    height=f(x_ks[1]),
    linewidth=2,
    edgecolor='darkorange',
    facecolor='lightyellow',
    alpha=0.8
)
ax.add_patch(rect)

# axis
ax.spines['top'].set_visible(False)
ax.spines['right'].set_visible(False)
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['left'].set_position('zero')

ax.set(xlabel="x", ylabel="y", xticks=xticks, xticklabels=xticklabels, yticks=[])
fig.show()
<Figure size 500x300 with 1 Axes>

分割する小区間の長さΔx\Delta_xが限りなく小さくなるように細かく分割していくと、積和はある一定の値に限りなく近づく。その極限値（f(x)f(x)が連続なら必ず存在する）は面積SSに等しい。

この極限値を

∫abf(x)dx=lim⁡n→∞∑k=1nf(ξk)Δxk\int_a^b f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\xi_k\right) \Delta x_k
(3)

で表し、関数f(x)f(x)のaaからbbまでの 定積分 （definite integral） という。bbを積分上限、aaを積分下限と呼ぶ。

負の面積

関数が負の場合をとる場合でも積分は定義できる。積和の定義より、関数の値が負の部分はその部分からの面積への寄与は負である。

Source
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 7, 300)
y = np.sin(x - 0.5)
xticks = []
xticklabels = []

fig, ax = plt.subplots(figsize=[5,3])
ax.plot(x, y)

a = 1
ax.axvline(a, linestyle="--")
xticks.append(a)
xticklabels.append("$a$     ")

b = 6
ax.axvline(b, linestyle="--")
xticks.append(b)
xticklabels.append("$b$     ")

ax.set(xlabel="x", ylabel="y", xticks=xticks, xticklabels=xticklabels, yticks=[])
ax.fill_between(x[(a <= x) & (x <= b)], y[(a <= x) & (x <= b)], color='lightblue', alpha=0.5)

ax.spines['top'].set_visible(False)
ax.spines['right'].set_visible(False)
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['left'].set_position('zero')

fig.show()
<Figure size 500x300 with 1 Axes>

定積分の性質

  1. ∫ab{f(x)±g(x)}dx=∫abf(x)dx±∫abg(x)dx\displaystyle \int_a^b\{f(x) \pm g(x)\} d x=\int_a^b f(x) d x \pm \int_a^b g(x) d x

  2. ∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx(k\displaystyle \int_a^b k f(x) d x=k \int_a^b f(x) d x \quad(k : 定数 ))

  3. a≦x≦b\displaystyle a \leqq x \leqq b で f(x)≧0f(x) \geqq 0 ならば ∫abf(x)dx≧0\int_a^b f(x) d x \geqq 0

  4. a≦x≦b\displaystyle a \leqq x \leqq b で f(x)≧g(x)f(x) \geqq g(x) ならば ∫abf(x)dx≧∫abg(x)dx\int_a^b f(x) d x \geqq \int_a^b g(x) d x

  5. 平均値の定理：∫abf(x)dx=f(c)(b−a)(a<c<b)\displaystyle \int_a^b f(x) d x=f(c)(b-a) \quad(a<c<b)

例

定数c∈Rc\in\mathbb{R}との和 f(x)+cf(x) + c を区間[a,b][a,b]上で積分する場合を考える。

積分の性質 ∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx\int_a^b [f(x) + g(x)] d x=\int_a^b f(x) d x + \int_a^b g(x) d xより、

∫ab[f(x)+c]dx=∫abf(x)dx+∫abcdx\int_a^b[f(x)+c] d x=\int_a^b f(x) d x+\int_a^b c d x
(4)

となる。また d(cx)dx=c\frac{d (c x)}{dx} = cなので

∫abcdx=[cx]ab=cb−ca=c⋅(b−a)\int_a^b c d x = [cx]_a^b = cb - ca = c \cdot (b - a)
(5)

である

定積分の計算

F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)を満たすある関数F(x)F(x)がわかったとき、定積分

∫abf(x)dx\int_a^b f(x) d x
(6)

はどのように求められるか。

下限を定数、上限を変数とした∫axf(t)dt\int_a^x f(t) d tも原始関数であるから、

∫axf(t)dt=F(x)+C\int_a^x f(t) d t = F(x) + C
(7)

が成り立つ。

上の式でx=ax=aとおくと

0=F(a)+C0 = F(a) + C
(8)

なので

∫axf(t)dt=F(x)−F(a)\int_a^x f(t) d t = F(x) - F(a)
(9)

であり、x=bx=bとおくと

∫abf(t)dt=F(b)−F(a)\int_a^b f(t) d t=F(b)-F(a)
(10)

すなわち、「定積分の値は、原始関数の積分上限での値F(b)F(b)から、下限での値F(a)F(a)を引いたもの」となる。

定積分を表す記号として

[F(t)]ab=F(b)−F(a)[F(t)]_a^b=F(b)-F(a)
(11)

や

∫abf(t)dt=[F(t)]ab\int_a^b f(t) d t=[F(t)]_a^b
(12)

や

∫abf(t)dt=F(t)∣ab\int_a^b f(t) d t=\left.F(t)\right|_a ^b
(13)

という記号が用いられる

広義積分

区間内で不連続点がある場合や、無限区間での積分へ拡張した定積分を 広義積分（improper integral）という。

2種類ある

  1. 被積分関数 f(x)f(x) が区間 a≦x≦ba \leqq x \leqq b で有限個の不連続点を持つ.

  2. 積分の上限, 下限の一方または両方が無限大である.

不連続な被積分関数

関数 f(x)f(x) が区間 a<x≦ba < x \leqq b で連続であるとき、もし極限

lim⁡ε→+0∫a+εbf(x)dx\lim_{\varepsilon \rightarrow+0} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) d x
(15)

が存在するならば、 f(x)f(x) は a≦x≦ba \leqq x \leqq b で積分可能であるといい、この極限値を

∫abf(x)dx\int_a^b f(x) d x
(16)

で表わす。同様に、 f(x)f(x) が a≦x<ba \leqq x<b で連続であるとき（下の式の右辺が存在するならば）、

∫abf(x)dx=lim⁡ε→+0∫ab−εf(x)dx\int_a^b f(x) d x=\lim _{\varepsilon \rightarrow+0} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) d x
(17)

と表わす。

いま f(x)f(x) が a≦x≦ba \leqq x \leqq b 内の 1 点 cc を除いて連続であるならば（下の式の右辺 の 2 つの極限が存在すると仮定して）

∫abf(x)dx=lim⁡ε1→+0∫ac−ε1f(x)dx+lim⁡ε2→+0∫c+ε2bf(x)dx\int_a^b f(x) d x=\lim _{\varepsilon_1 \rightarrow+0} \int_a^{c-\varepsilon_1} f(x) d x+\lim _{\varepsilon_2 \rightarrow+0} \int_{c+\varepsilon_2}^b f(x) d x
(18)

区間a≤x≤ba\leq x \leq b 内に有限個の不連続点が存在するならば、この区間をいくつかの部分区間に分けて、そのいずれにもただ 1 つの不連続点があるようにできるので、同様に扱うことができる。

上記のような極限が存在するとき、 広義積分は収束する という。

無限区間の積分

関数f(x)f(x)がx≥ax\geq aで連続であって、極限

lim⁡b→+∞∫abf(x)dx\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_a^b f(x) d x
(19)

が存在するならば、この極限値を

∫a∞f(x)dx\int_a^{\infty} f(x) d x
(20)

で表わす。同様にして、

∫−∞bf(x)dx=lim⁡a→−∞∫abf(x)dx∫−∞∞f(x)dx=lim⁡a→−∞lim⁡b→∞∫abf(x)dx\begin{aligned} & \int_{-\infty}^b f(x) d x=\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_a^b f(x) d x \\ & \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=\lim _{a \rightarrow-\infty} \lim _{b \rightarrow \infty} \int_a^b f(x) d x \end{aligned}
(21)

が定義される。

数学
不定積分
数学
微積分学の基本定理