微積分学の基本定理 - データサイエンス関連+αのメモ

関数 $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分 $\int_a^b f(x) d x$ は、 $a$ を固定すると上限 $b$ が決まればその値が定まるから、 $b$ の関数とみなすことができる。 $b$ を改めて $x$ と表し、関数

F(x)=\int_a^x f(t) d t

を定義する。

定積分の性質より、

\begin{aligned} F(x+\Delta x) & =\int_a^{x+\Delta x} f(t) d t \\ & =\int_a^x f(t) d t+\int_x^{x+\Delta x} f(t) d t \\ & =F(x)+\int_x^{x+\Delta x} f(t) d t \end{aligned}

平均値の定理を使って、

\begin{aligned} \int_x^{x+\Delta x} f(t) d t & =(x+\Delta x-x) f(x+\theta \Delta x) \\ & =\Delta x \cdot f(x+\theta \Delta x) \quad(0<\theta<1) \end{aligned}

なので、上の2つの式から

\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=f(x+\theta \Delta x) \quad(0<\theta<1)

関数 $f(x)$ は連続だから、 $\Delta x \to 0$ のとき、 $f(x+\theta \Delta x) \to f(x)$ 。また左辺は $\Delta x \to 0$ のとき $F'(x)$ に等しいから、

F'(x) = f(x)

が得られる。これを 微積分学の基本定理（fundamental theorem of differential and integral calculus）という。