多重積分 - データサイエンス関連+αのメモ

2変数の定積分¶

$x y$ 平面の領域 $R$ で定義された連続な関数を $f(x, y)$ とする。領域 $R$ を，おのおのの面積が $\Delta A_1, \Delta A_2, \cdots, \Delta A_n$ の $n$ 個の小領域 $R_1, R_2, \cdots, R_n$ に分割する。

小領域 $R_1$ 内に点 $\mathrm{P}_1\left(\xi_1, \eta_1\right), R_2$ 内に点 $\mathrm{P}_2\left(\xi_2, \eta_2\right), \cdots, R_n$ 内に点 $\mathrm{P}_n$ $\left(\xi_n, \eta_n\right)$ を選び，積和

\sum_{k=1}^n f\left(\mathrm{P}_k\right) \Delta A_k=\sum_{k=1}^n f\left(\xi_k, \eta_k\right) \Delta A_k

(1)

を作る。各小領域の直径が0に近づくように分割を細かくしていく。このときの極限値を

\iint_R f(x, y) d A=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\xi_k, \eta_k\right) \Delta A_k

(2)

と書き、関数 $f(x,y)$ の領域 $R$ における 2重積分 （double integral）という。積分記号の下の添字 $R$ は $x,y$ の値の領域を表している。

（参考）1変数の定積分

区間 $a \leqq x \leqq b$ を、おのおのの長さが $\Delta x_1, \Delta x_2, \cdots, \Delta x_n$ の $n$ 個の小区間 $I_1, I_2$ , $\cdots, I_n$ に分割する。小区間 $I_1$ 内に点 $\xi_1, I_2$ 内に点 $\xi_2, \cdots, I_n$ 内に点 $\xi_n$ を選び,積和 $\sum_{k=1}^n f\left(\xi_k\right) \Delta x_k$ をつくる。各小区間の長さが 0 になるように分割を細かくしていく。

このときの極限値が定積分

\int_a^b f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\xi_k\right) \Delta x_k

(3)

である。

多重積分の例¶

例：2次元分布

2 つの連続型確率変数 $x$ と $y$ に対して次の条件を満たす関数 $f(x, y)$ を $x$ と $y$ の 同時確率密度関数 と呼ぶ.

f(x, y) \geq 0, \quad \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) d x d y=1

(4)

$(x, y)$ が領域 $D$ に入る確率を

\operatorname{Pr}\{(x, y) \in D\}=\iint_D f(x, y) d x d y

(5)

と求める. 特に, $D=[a, b] \times[c, d]$ なら次のようになる.

\operatorname{Pr}\{(x, y) \in D\}=\operatorname{Pr}\{a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\}=\int_a^b\left\{\int_c^d f(x, y) d y\right\} d x

(6)

多重積分の変数変換¶

$x=\phi(s, t), y=\psi(s, t)$ と変数変換する. ただし, 変換は 1 対 1 であり, $\phi$ と $\psi$ は微分可能で, 偏導関数は連続とする. 次式が成り立つ.

\begin{aligned} & \iint_D f(x, y) d x d y=\iint_{D^{\prime}} f(\phi(s, t), \psi(s, t))|J| d s d t \\ & D^{\prime}=\{(s, t): x=\phi(s, t), y=\psi(s, t),(x, y) \in D\} \end{aligned}

(8)

ここで, $J$ は $2 \times 2$ 行列の行列式

J=\left|\begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} \frac{\partial \phi}{\partial s} & \frac{\partial \phi}{\partial t} \\ \frac{\partial \psi}{\partial s} & \frac{\partial \psi}{\partial t} \end{array}\right|=\frac{\partial \phi}{\partial s} \frac{\partial \psi}{\partial t}-\frac{\partial \phi}{\partial t} \frac{\partial \psi}{\partial s}

(9)

であり，Jを ヤコビアン (Jacobian) と呼ぶ. $|J|$ は $J$ の絶対値である. 変換が 1 対 1 なので $J \neq 0$ である.

（参考）1変数の積分の変数変換

1 変数関数 $y=f(x)$ の定積分での変数変換の方法を述べた. それは, 単調関数により $x=g(t)$ と変数変換するとき

\int_a^b f(x) d x=\int_\alpha^\beta f(g(t)) \frac{d x}{d t} d t=\int_\alpha^\beta f(g(t)) g^{\prime}(t) d t

(10)

となる. ここで, $a=g(\alpha), b=g(\beta)$ である.

例：確率密度関数の変数変換

2 つの連続型確率変数 $x$ と $y$ の同時確率密度関数を $f(x, y)$ とする. 変数変換 $x=$ $\phi(w, z), y=\psi(w, z)$ を考える. この変数変換は 1 対 1 とする. このとき，変換後の $w$ と $z$ の同時確率密度関数 $f_{w z}(w, z)$ は次式である.

f_{w z}(w, z)=f(\phi(w, z), \psi(w, z))|J|

(11)

ただし, $J$ はヤコビアン

J=\left|\begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial z} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} \frac{\partial \phi}{\partial w} & \frac{\partial \phi}{\partial z} \\ \frac{\partial \psi}{\partial w} & \frac{\partial \psi}{\partial z} \end{array}\right|

(12)

であり, $|J|$ は $J$ の絶対値である。

例：2つのガンマ分布からの変換

$x$ はガンマ分布 $G(\alpha, \lambda)$ に従い、 $y$ はガンマ分布 $G(\beta, \lambda)$ に従い ( $\lambda$ は共通)、 $x$ と $y$ は独立とする。 $w=x /(x+y), z=x+y$ と変数変換するとき、 $w$ と $z$ がどのような確率分布に従うのかを考える。

$x$ と $y$ は独立だから、それらの同時確率密度関数は $x$ と $y$ の周辺確率密度関数の積になる。

f(x, y)=\frac{\lambda^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} x^{\alpha-1} y^{\beta-1} e^{-\lambda(x+y)}

(13)

変換式を $x$ と $y$ について解くと $x=w z, \ y=(1-w) z$ となる。

これより, ヤコビアンは $J=z$ となる.

J=\left|\begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial z} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} z & w \\ -z & 1-w \end{array}\right|=z(1-w)+w z=z

(14)

また, $x: 0 \rightarrow \infty, y: 0 \rightarrow \infty$ のとき $w: 0 \rightarrow 1$ , $z: 0 \rightarrow \infty$ である. したがって, 変換後の $w$ と $z$ の同時確率密度関数は, $\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)=$ $\Gamma(\alpha+\beta) B(\alpha, \beta)$ を用いて, 次のようになる.

\begin{aligned} & f_{w z}(w, z)=\frac{\lambda^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}(w z)^{\alpha-1}\{(1-w) z\}^{\beta-1} e^{-\lambda z} z \\ & \quad=\left\{\frac{\lambda^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha+\beta)} z^{\alpha+\beta-1} e^{-\lambda z}\right\}\left\{\frac{1}{B(\alpha, \beta)} w^{\alpha-1}(1-w)^{\beta-1}\right\} \end{aligned}

(15)

上式はガンマ分布 $G(\alpha+\beta, \lambda)$ の確率密度関数とベータ分布 $B e(\alpha, \beta)$ の確率密度関数 ((11.26) 式を参照) の積になっている. $f_{w z}(w, z)$ を $w$ のとううる範囲で積分することにより $z$ の周辺分布はガンマ分布 $G(\alpha+\beta, \lambda)$ となり, $z$ のとりうる範囲で積分すれば $w$ の周辺分布はべータ分布 $B e(\alpha, \beta)$ となる. また, $w$ と $z$ は，同時確率密度関数が周辺確率密度関数の積になるので独立である。