Kendall の順位相関係数（Kendall’s τ） - データサイエンス関連+αのメモ

Kendall の $\tau$ は観測値の全ペアの数に対する順序が一致（concordant）/ 不一致（discordant）のペアの数の比率のように定義される相関係数

定義式¶

\tau = \frac{C - D}{\binom{n}{2}}

(1)

$C$ ：一致ペア数
$D$ ：不一致ペア数
$\binom{n}{2}$ ：全ペア数
順位が完全に一致している（すなわち $D = 0$ ）なら $\tau = +1$
順位が完全に不一致（すなわち $C = 0$ ）なら $\tau = -1$

特徴¶

単調関係を捉える
ノイズが強い場合に Spearman より安定する場合がある
値域は $[-1,1]$

from scipy.stats import kendalltau
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

fig, axes = plt.subplots(figsize=[10, 2.5], ncols=3)

true_r = 0.75
mu = np.array([0.0, 0.0])
Sigma = np.array([[1.0, true_r], [true_r, 1.0]])
samples = np.random.multivariate_normal(mu, Sigma, size=100)
x = samples[:, 0]
y = samples[:, 1]
axes[0].scatter(x, y)
axes[0].set_title(f"Kendall's τ = {kendalltau(x, y).statistic:.3f}")

x = np.linspace(-10, 10, 15)
y = 1 / (1 + np.exp(-x))
axes[1].scatter(x, y)
axes[1].set_title(f"Kendall's τ = {kendalltau(x, y).statistic:.3f}")

x = np.linspace(-3.14,3.14, 100)
y = x**2 + np.random.random(len(x))
axes[2].scatter(x, y)
axes[2].set_title(f"Kendall's τ = {kendalltau(x, y).statistic:.3f}")

%matplotlib inline