時系列データの特徴 - データサイエンス関連+αのメモ

時系列データ¶

時系列分析では、各時点 $t$ （ $t=1,\dots,T$ ）で観測されたデータ

\{y_t\}_{t=1}^T

を、ある確率変数列 $\{y_t\}_{t=-\infty}^{\infty}$ からの1つの実現値とみなし、その確率変数列の生成過程に関する性質や構造を仮定（モデリング）していく。

この $\{y_t\}_{t=-\infty}^{\infty}$ を**データ生成過程（data generating process: DGP）や確率過程（stochastic process）**とよぶ。

時系列分析においては、もとのデータは原系列と呼ばれ、前処理した系列のことをそれぞれ次のように呼ぶ

対数差分による変化率の近似

対数の計算規則から

\log \left(y_t\right) - \log \left(y_{t-1}\right) =\log \left(\frac{y_t}{y_{t-1}}\right) =\log \left(1+\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\right)

となる。また1次のテイラー近似により、小さい $x$ に対して

\log(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \approx x

ゆえに

\log \left(1+\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\right) \approx \frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}

時系列モデルでは、つぎの情報を明示的にモデリングするものも多い

時間によって分布の形状が変化する場合、分析の難度が上がる。定常性（stationary）が仮定できる確率過程であれば、各時点におけるサンプルが同じ分布から得られたものと捉えて一般的な統計解析の枠組みを援用しやすい。

厳密には弱定常性と強定常性がある。

各時点のデータが互いに独立でかつ同一の分布に従う系列は iid系列 と呼ばれる。

同時分布が同一である強定常よりも強い定常性をもつ。

時系列データにおいてi.i.dを仮定できることはまれだが、**撹乱項（disturbance term）**をi.i.d.で仮定することはできる。また、もっと仮定が弱いものでホワイトノイズというものもある。

ホワイトノイズはすべての時点において期待値がゼロで、分散が一定の確率過程である