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ベクトル自己回帰（VAR）モデル

VARはARモデルの拡張版であり、VAR(pp)モデルはyty_tを定数と自身のpp次のラグ（pp期の過去の値）に回帰したモデル。

モデル

変数がnn次元、ラグの次数がppだとする。（例えば時点ttの観測値は y1,t,y2,t,…,yn,ty_{1,t}, y_{2,t}, \dots, y_{n,t} となる。）

VAR(pp) では、各変数 yi,ty_{i,t} は、すべての変数の過去 pp 期分の線形結合で表される。

VAR(pp)
yi,t=ci+∑k=1p∑j=1nϕij(k) yj,t−k+εi,t(i=1,…,n)y_{i,t} = c_{i} + \sum_{k=1}^{p} \sum_{j=1}^{n} \phi_{ij}^{(k)} \, y_{j,t-k} + \varepsilon_{i,t} \quad (i = 1,\dots,n)
(1)

  • ϕij(k)\phi_{ij}^{(k)}：変数 jj の kk 期前」が「変数 ii の現在」に与える影響

  • εi,t\varepsilon_{i,t}：変数 ii に対応する誤差項

もう少しベクトルや行列を使って表すと、

VAR(pp) （行列を使った表現）
yt=c+∑k=1pΦkyt−k+εt,εt∼ W.N.(Σ)\mathbf{y}_t = \mathbf{c} + \sum_{k=1}^p \boldsymbol{\Phi}_k \mathbf{y}_{t-k}+\varepsilon_t ,\quad \varepsilon_t \sim \text { W.N.} (\boldsymbol{\Sigma})
(2)

  • c∈Rn×1\mathbf{c}\in\mathbb{R}^{n\times 1}

  • Φk∈Rn×n\boldsymbol{\Phi}_k \in\mathbb{R}^{n\times n}

例：2変量VAR(1)モデル
{y1t=c1+ϕ11y1,t−1+ϕ12y2,t−1+ε1ty2t=c2+ϕ21y1,t−1+ϕ22y2,t−1+ε2t,(ε1tε2t)∼ W.N. Σ=(σ12ρσ1σ2ρσ1σ2σ22)\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l} y_{1 t}=c_1+\phi_{11} y_{1, t-1}+\phi_{12} y_{2, t-1}+\varepsilon_{1 t} \\ y_{2 t}=c_2+\phi_{21} y_{1, t-1}+\phi_{22} y_{2, t-1}+\varepsilon_{2 t} \end{array}, \quad\binom{\varepsilon_{1 t}}{\varepsilon_{2 t}} \sim\right. \text { W.N. } \\ & \mathbf{\Sigma}=\left(\begin{array}{cc} \sigma_1^2 & \rho \sigma_1 \sigma_2 \\ \rho \sigma_1 \sigma_2 & \sigma_2^2 \end{array}\right) \end{aligned}
(3)

ここで ρ=Corr⁡(ε1t,ε2t)\rho=\operatorname{Corr}\left(\varepsilon_{1 t}, \varepsilon_{2 t}\right)

状態ベクトル yt∈Rn\mathbf{y}_t \in \mathbb{R}^n 、 ラグ kk の係数行列 Phik∈Rn×n\boldsymbol{Phi}_k \in \mathbb{R}^{n \times n}、 誤差ベクトル εt\boldsymbol{\varepsilon}_t をそれぞれ

yt=(y1,ty2,t⋮yn,t),Φk=(ϕ11(k)ϕ12(k)⋯ϕ1n(k)ϕ21(k)ϕ22(k)⋯ϕ2n(k)⋮⋮⋱⋮ϕn1(k)ϕn2(k)⋯ϕnn(k)),εt=(ε1,tε2,t⋮εn,t)\mathbf{y}_t = \begin{pmatrix} y_{1,t} \\ y_{2,t} \\ \vdots \\ y_{n,t} \end{pmatrix} ,\quad \mathbf{\Phi}_k = \begin{pmatrix} \phi_{11}^{(k)} & \phi_{12}^{(k)} & \cdots & \phi_{1n}^{(k)} \\ \phi_{21}^{(k)} & \phi_{22}^{(k)} & \cdots & \phi_{2n}^{(k)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_{n1}^{(k)} & \phi_{n2}^{(k)} & \cdots & \phi_{nn}^{(k)} \end{pmatrix} ,\quad \boldsymbol{\varepsilon}_t = \begin{pmatrix} \varepsilon_{1,t} \\ \varepsilon_{2,t} \\ \vdots \\ \varepsilon_{n,t} \end{pmatrix}
(4)

とおくと、VAR(pp) は次のように表現できる。

VAR(pp) （行列を使った表現）
yt=∑k=1pΦkyt−k+εt\mathbf{y}_t = \sum_{k=1}^{p} \mathbf{\Phi}_k \mathbf{y}_{t-k} + \boldsymbol{\varepsilon}_t
(5)

※切片を含めた表現もされる

yt=c+∑k=1pΦkyt−k+εt\mathbf{y}_t = \mathbf{c} + \sum_{k=1}^{p} \mathbf{\Phi}_k \mathbf{y}_{t-k} + \boldsymbol{\varepsilon}_t
(6)

パラメータ推定

VARは一見複雑だが、本質的には各変数を同じ説明変数で回帰しているだけ（多変量回帰）である。例えばVAR(1) は yt=Φ1yt−1+εt\mathbf{y}_t = \mathbf{\Phi}_1 \mathbf{y}_{t-1} + \boldsymbol{\varepsilon}_t 。

サンプルサイズを TT とする（初期 pp 個は捨てる）。

目的変数行列をY\mathbf{Y}、説明変数行列をZ\mathbf{Z}、係数行列をまとめたものをB\mathbf{B}とおく。

Y=(yp+1⊤yp+2⊤⋮yT⊤)∈R(T−p)×n,Z=(yp⊤yp−1⊤⋯y1⊤yp+1⊤yp⊤⋯y2⊤⋮⋮⋮yT−1⊤yT−2⊤⋯yT−p⊤),B=(Φ1⊤Φ2⊤⋮Φp⊤)\mathbf{Y} = \begin{pmatrix} \mathbf{y}_{p+1}^\top \\ \mathbf{y}_{p+2}^\top \\ \vdots \\ \mathbf{y}_T^\top \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{(T-p)\times n} ,\quad \mathbf{Z} = \begin{pmatrix} \mathbf{y}_{p}^\top & \mathbf{y}_{p-1}^\top & \cdots & \mathbf{y}_{1}^\top \\ \mathbf{y}_{p+1}^\top & \mathbf{y}_{p}^\top & \cdots & \mathbf{y}_{2}^\top \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mathbf{y}_{T-1}^\top & \mathbf{y}_{T-2}^\top & \cdots & \mathbf{y}_{T-p}^\top \end{pmatrix} ,\quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} \mathbf{\Phi}_1^\top \\ \mathbf{\Phi}_2^\top \\ \vdots \\ \mathbf{\Phi}_p^\top \end{pmatrix}
(7)

VARはOLSで推定可能

B^=(Z⊤Z)−1Z⊤Y\hat{\mathbf{B}} = (\mathbf{Z}^\top \mathbf{Z})^{-1} \mathbf{Z}^\top \mathbf{Y}
(8)
import numpy as np
import pandas
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.api import VAR

mdata = sm.datasets.macrodata.load_pandas().data

# prepare the dates index
dates = mdata[['year', 'quarter']].astype(int).astype(str)
quarterly = dates["year"] + "Q" + dates["quarter"]

from statsmodels.tsa.base.datetools import dates_from_str
quarterly = dates_from_str(quarterly)

mdata = mdata[['realgdp', 'realcons']]
mdata.index = pandas.DatetimeIndex(quarterly)
data = np.log(mdata).diff().dropna()

# data
display(data.tail())

# make a VAR model
model = VAR(data)
results = model.fit(2)
results.summary()
Loading...
/home/mitama/notes/.venv/lib/python3.10/site-packages/statsmodels/tsa/base/tsa_model.py:473: ValueWarning: No frequency information was provided, so inferred frequency QE-DEC will be used.
  self._init_dates(dates, freq)
Summary of Regression Results ================================== Model: VAR Method: OLS Date: Fri, 19, Dec, 2025 Time: 23:32:33 -------------------------------------------------------------------- No. of Equations: 2.00000 BIC: -20.0648 Nobs: 200.000 HQIC: -20.1630 Log likelihood: 1465.40 FPE: 1.63813e-09 AIC: -20.2297 Det(Omega_mle): 1.55920e-09 -------------------------------------------------------------------- Results for equation realgdp ============================================================================== coefficient std. error t-stat prob ------------------------------------------------------------------------------ const 0.001024 0.000971 1.055 0.291 L1.realgdp -0.096477 0.087307 -1.105 0.269 L1.realcons 0.571453 0.102953 5.551 0.000 L2.realgdp -0.038461 0.081226 -0.474 0.636 L2.realcons 0.352325 0.109914 3.205 0.001 ============================================================================== Results for equation realcons ============================================================================== coefficient std. error t-stat prob ------------------------------------------------------------------------------ const 0.004668 0.000843 5.538 0.000 L1.realgdp 0.051847 0.075826 0.684 0.494 L1.realcons 0.194414 0.089414 2.174 0.030 L2.realgdp 0.013699 0.070545 0.194 0.846 L2.realcons 0.181398 0.095460 1.900 0.057 ============================================================================== Correlation matrix of residuals realgdp realcons realgdp 1.000000 0.603188 realcons 0.603188 1.000000 
_ = results.plot_forecast(steps=20)
<Figure size 1000x1000 with 2 Axes>
統計モデリング
ARIMAモデル
統計モデリング
状態空間モデル