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テトラコリック相関係数（tetrachoric correlation）

テトラコリック相関係数 （tetrachoric correlation coefficient, 四分相関係数 とも） は、二値変数同士の相関係数で、2つの二値変数の背後に連続変数が存在すると仮定して、それらの間の相関の強さを推定する。

歴史的経緯 （from Olsson (1979)）

Pearson (1901) で標準正規分布の累積分布

Φ(τX,τY;ρ)=12π1−ρ2∫−∞τX∫−∞τYexp⁡[−x2−2ρxy+y22(1−ρ2)]dxdy\Phi(\tau_X, \tau_Y ; \rho)=\frac{1}{2 \pi\sqrt{1-\rho^2}} \int_{-\infty}^{\tau_X} \int_{-\infty}^{\tau_Y} \exp \left[-\frac{x^2-2 \rho x y+y^2}{2\left(1-\rho^2\right)}\right] d x d y
(1)

からρ\rhoを解くことで求める方法が提案された。

Hamdan (1970) は2x2表からρ\rhoを最尤推定することとtetrachoric correlationが等しいことを示した。

Brown & Benedetti (1977) はtetrachoric correlationが対応する真の相関に対してバイアスがあるが、セルの予想される頻度が5未満でない場合、バイアスは無視できることを示した。

推定方法

2つの観測変数X,Y∈{0,1}X, Y \in \{0, 1\}があるとし、その背後に正規分布に従う潜在変数X∗,Y∗X^*, Y^*

(X∗,Y∗)∼N([00],[1ρρ1])\left(X^*, Y^*\right) \sim \mathcal{N}\left(\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{array}\right]\right)
(2)

があり、それぞれの潜在変数がある閾値によって二値に変換されている、すなわち

X=1(X∗>τX),Y=1(Y∗>τY)X = \mathbb{1}( X^* > \tau_{X}), \quad Y = \mathbb{1}( Y^* > \tau_{Y})
(3)

とする。

相関係数ρ\rho と 2変量の標準正規分布の累積分布関数Φ2(τi,τj;ρ)\Phi_2(\tau_i, \tau_j; \rho) による同時確率

P(X=i,Y=j)=Φ2(τi,τj;ρ)P(X=i, Y=j) = \Phi_2(\tau_i, \tau_j; \rho)
(4)

を考えて、ここから尤度関数を作って最尤推定を行う。

観測値のクロス集計表を以下のように計算したとする。

Y=0Y=0Y=1Y=1合計
X=0X=0n00n_{00}n01n_{01}n0n_0
X=1X=1n10n_{10}n11n_{11}n1n_1
合計n.0n_{.0}n.1n_{.1}nn

仮定

X=1⇔X∗>τXY=1⇔Y∗>τY\begin{aligned} & X=1 \Leftrightarrow X^*>\tau_X \\ & Y=1 \Leftrightarrow Y^*>\tau_Y \end{aligned}
(5)

により、

X=0⇔X∗≤τXY=0⇔Y∗≤τY\begin{aligned} & X=0 \Leftrightarrow X^* \leq \tau_X \\ & Y=0 \Leftrightarrow Y^* \leq \tau_Y \end{aligned}
(6)

なので、標準正規分布の分位点関数Φ−1\Phi^{-1}を使うと

τX=Φ−1(P(X=0))=Φ−1(n00+n01n)τY=Φ−1(P(Y=0))=Φ−1(n00+n10n)\begin{gathered} \tau_X=\Phi^{-1}(P(X=0))=\Phi^{-1}\left(\frac{n_{00}+n_{01}}{n}\right) \\ \tau_Y=\Phi^{-1}(P(Y=0))=\Phi^{-1}\left(\frac{n_{00}+n_{10}}{n}\right) \end{gathered}
(7)

Pij=P(X=i,Y=j)P_{ij} = P(X=i, Y=j)とすると

P00=Φ2(τX,τY;ρ)P01=Φ(τX)−Φ2(τX,τY;ρ)P10=Φ(τY)−Φ2(τX,τY;ρ)P11=1−Φ(τX)−Φ(τY)+Φ2(τX,τY;ρ)\begin{aligned} & P_{00}=\Phi_2\left(\tau_X, \tau_Y ; \rho\right) \\ & P_{01}=\Phi\left(\tau_X\right)-\Phi_2\left(\tau_X, \tau_Y ; \rho\right) \\ & P_{10}=\Phi\left(\tau_Y\right)-\Phi_2\left(\tau_X, \tau_Y ; \rho\right) \\ & P_{11}=1-\Phi\left(\tau_X\right)-\Phi\left(\tau_Y\right)+\Phi_2\left(\tau_X, \tau_Y ; \rho\right) \end{aligned}
(10)

ここで：

  • Φ:\boldsymbol{\Phi}: 標準正規分布のCDF

  • Φ2(u,v;ρ):2\Phi_2(u, v ; \rho): 2 変量正規分布のCDF（平均0、分散1、相関 ρ\rho）

そして次の対数尤度を最大化して推定する

log⁡L(ρ)=n00log⁡P00+n01log⁡P01+n10log⁡P10+n11log⁡P11\log L(\rho)=n_{00} \log P_{00}+n_{01} \log P_{01}+n_{10} \log P_{10}+n_{11} \log P_{11}
(11)
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize_scalar
from scipy.stats import multivariate_normal

def tetrachoric_corr(x: np.ndarray, y: np.ndarray) -> float:
    n = len(x)
    n00 = np.sum((x == 0) & (y == 0))
    n01 = np.sum((x == 0) & (y == 1))
    n10 = np.sum((x == 1) & (y == 0))
    n11 = np.sum((x == 1) & (y == 1))
    
    px0 = (n00 + n01) / n
    py0 = (n00 + n10) / n
    
    tau_x = norm.ppf(px0)
    tau_y = norm.ppf(py0)

    def neg_log_likelihood(rho):
        cov = np.array([[1, rho], [rho, 1]])
        p00 = multivariate_normal.cdf([tau_x, tau_y], mean=[0, 0], cov=cov)
        p01 = norm.cdf(tau_x) - p00
        p10 = norm.cdf(tau_y) - p00
        p11 = 1 - norm.cdf(tau_x) - norm.cdf(tau_y) + p00

        probs = np.array([p00, p01, p10, p11])
        counts = np.array([n00, n01, n10, n11])

        assert np.all(probs >= 0)
        return -np.sum(counts * np.log(probs))

    result = minimize_scalar(neg_log_likelihood, bounds=(-0.999, 0.999), method='bounded')
    return result.x
# データ生成（潜在相関0.6）
from scipy.stats import norm
np.random.seed(1)
latent_x = np.random.normal(size=100)
latent_y = 0.6 * latent_x + np.random.normal(size=100)
X = (latent_x > 0.3).astype(int)
Y = (latent_y > 0.3).astype(int)

# 推定
rho_hat = tetrachoric_corr(X, Y)
print(f"推定されたテトラコリック相関: {rho_hat:.4f}")
推定されたテトラコリック相関: 0.4084
References
  1. Pearson, K. (1900). I. Mathematical contributions to the theory of evolution. —VII. On the correlation of characters not quantitatively measurable. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character, 195(262–273), 1–47. 10.1098/rsta.1900.0022
統計学
相関の希薄化
統計学
ポリコリック相関係数