微分学の基礎的な定理

概要図：連続関数の性質 $\rightarrow$ ロールの定理 $\rightarrow$ 平均値の定理 $\rightarrow$ ティラーの定理 $\rightarrow$ テイラー展開

ロールの定理¶

これをロール (M. Rolle, 1652-1719)の定理という。

平均値の定理¶

この定理は 直線 $\mathrm{AB}$ と同じ傾きをもつ接線が弧 $\mathrm{AB}$上に存在することを意味している。

テイラーの定理¶

平均値の定理

を一般化する。

$n=0$（1階微分可能）のとき、平均値の定理と一致する。

$b=x$とおいたものは、 関数$f(x)$の点$a$における テイラー展開 （Taylor expansion）と呼ばれる。

テイラー展開¶

テイラー展開の$c$を$c=a+\theta(b-a)(0<\theta<1)$と書くと、

$b = x$とおけば、テイラー展開と呼ばれる式になる

マクローリン展開¶

テイラー展開の特別の場合として、$a=0$のときの場合を マクローリン展開 という。

テイラー級数とマクローリン級数¶

関数$f(x)$の点$a$におけるテイラー展開は、

となり、有限個のベキ項と剰余$R_{n+1}$の和の形になる。

関数$f(x)$をより良く近似しようとすると、剰余$R_{n+1}$をより小さくする必要がある。

剰余$R_n$は$n$の値を増やしていくと、数列$R_1, R_2, \cdots, R_n, \cdots$を作る。もし、数列$\{R_n\}$が0に収束する、すなわち

ならば、$n$を増やしてより多くの項で近似するほど、よりよい近似になる。

このとき、

と書く。最後の$\cdots$は無限に和が続くことを意味している。これを テイラー級数 （Taylor series）と呼ぶ。