偏微分 - データサイエンス関連+αのメモ

2変数の関数¶

極限¶

定義（極限）

2つの変数 $x,y$ による関数 $f(x, y)$ があるとする。点P $(x,y)$ が点A $(a,b)$ と一致することなく点Aに近づくとする。このとき、関数 $f(x,y)$ の値が、その近づき方によらず同じ1つの値 $c$ に近づくならば、 $f(x,y)$ には極限が存在して、その 極限値 は $c$ である、あるいは「 $f(x,y)$ は $c$ に 収束する」といい

f(x, y) \rightarrow c \quad(x \rightarrow a, y \rightarrow b), \quad \lim _{\substack{x \rightarrow a, \\ y \rightarrow b}} f(x, y)=c, \quad \lim_{\mathrm{P} \rightarrow \mathrm{A}} f(x, y)=c, \quad \lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y)=c

(1)

などと表す。

例：近づき方が異なるとき、極限は存在しない

関数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{x^2}{x^2+y^2}$ において, $x \rightarrow 0, y \rightarrow 0$ の極限を調べる。

この関数の定義域は全平面から原点 $O$ を除外して得られる領域である。点P $(x, y)$ が2つの方法でOに近づくとする。

(1) $x$ 軸に沿って原点に近づく場合

$f(x, 0) = x^2 / (x^2 + 0) = 1$ なので

\lim _{x \rightarrow 0} f(x, 0)=\lim _{x \rightarrow 0} 1=1

(2)

(2) $y$ 軸に沿って原点に近づく場合

$f(0, y)=0 /(0+y^2)=0$ なので

\lim _{y \rightarrow 0} f(0, y)=\lim _{y \rightarrow 0} 0=0

(3)

したがって、原点への近づき方によって異なる値をとるため、極限値 $\displaystyle \lim_{P\to 0} f(x,y)$ は存在しない

連続¶

例

Q. 関数

f(x, y)= \begin{cases} \frac{x y}{x^2+y^2} & ((x, y) \neq(0,0)) \\ 0 & ((x, y)=(0,0)) \end{cases}

(4)

の原点 $(0,0)$ での連続性を調べよ。

$f(0,0)$ は定義されている。

$f(x,y)$ は $x=0$ あるいは $y=0$ のとき常に0であるから、 $x$ 軸や $y$ 軸に沿って原点に近づくとき

\lim _{x \rightarrow 0} f(x, 0)=0=f(0,0)\\ \lim _{y \rightarrow 0} f(0, y)=0=f(0,0)

(5)

しかし直線 $y=mx(m\neq 0)$ に沿って原点に近づくと

\lim _{x \rightarrow 0} f(x, m x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{m x^2}{x^2+m^2 x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{m}{1+m^2}=\frac{m}{1+m^2} \neq f(0,0)

(6)

となり、 $m$ の値によって（原点への近づけ方によって）異なる値になるため極限は存在せず、連続でもない

偏微分¶

関数 $z = f(x, y)$ があるとする。 $y$ を一定として $x$ を変動させることを考えると、 $f(x, y)$ は $x$ だけの関数になるので、その導関数

\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x, y)-f(x, y)}{\Delta x}

(7)

が存在すれば、偏微分可能 であるという。また $\frac{\partial f}{\partial x}$ を $f(x,y)$ の $x$ に関する 偏導関数 （partial derivative）という。

高階の偏微分¶

\begin{aligned} & \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}\right)=f_{x x}(x, y) \\ & \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}\right)=f_{x y}(x, y) \\ & \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}\right)=f_{y y}(x, y) \\ & \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}\right)=f_{y x}(x, y) \end{aligned}

(9)

陰関数の微分¶

$y=f(x)$ のように、 $x$ に対応する $y$ の具体的な表式が示されているとき、 $y$ は $x$ の 陽関数 （explicit function）であるという。

$F(x,y)=0$ のように関係式として定められているだけのとき、 $y$ は $x$ の 陰関数 （inplicit function）であるという。

例

$F(x,y)=0$ のとき、 $y$ による偏導関数 $F_y$ が $F_y \neq 0$ ならば

\frac{dy}{dx} = - \frac{F_x(x, y)}{F_y(x,y)} = - \frac{\partial F(x,y) / \partial x} {\partial F(x,y) / \partial y}

(11)

例

例題

3 x^2+4 y^2-5 z^2=20

(14)

の $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めよ。

F(x,y,z) := 3x^2 + 4y^2 - 5z^2 - 20 = 0

(15)

とおく。

\frac{\partial F}{\partial x} = 6x, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = 8y, \quad \frac{\partial F}{\partial z} = -10z

(16)

であり、 $\frac{\partial F}{\partial z} \neq 0$ のため、定理

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F / \partial z} , \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\partial F/\partial y}{\partial F / \partial z}

(17)

より

\begin{align} \frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{\partial F/\partial x}{\partial F / \partial z} = \frac{6x}{10z} = \frac{3x}{5z} \\ \frac{\partial z}{\partial y} &= \frac{\partial F/\partial y}{\partial F / \partial z} = \frac{8y}{10z} = \frac{4y}{5z} \end{align}

(18)