極値 - データサイエンス関連+αのメモ

極大と極小¶

ある関数 $y=f(x)$ があるとする。

ある点 $a$ での値 $f(a)$ がその近くでのほかの値 $f(a+h), (h\neq 0)$ より大きい場合、 $f(x)$ は $a$ で極大（maximum）になるといい、 $f(a)$ を 極大値 という。

ある点 $a$ での値 $f(a)$ がその近くでのほかの値 $f(a+h), (h\neq 0)$ より小さい場合、 $f(x)$ は $a$ で極小（minimum）になるといい、 $f(a)$ を 極小値 という。

極大値と極小値を総称して極値という。

極値の判定¶

極値の条件¶

極値の判定法¶

導関数のふるまいで極値を判定できる。まとめると次のようになる。

$x$ が増加しながら $x_0$ を通過するとき

導関数 $f^{\prime}(x)$ が正から 0 を通って負に符号をかえるならば、 $f(x)$ は $x=x_0$ で極大值 $f\left(x_0\right)$ をもつ。
導関数 $f^{\prime}(x)$ が負から 0 を通って正に符号をかえるならば、 $f(x)$ は $x=x_0$ で極小值 $f\left(x_0\right)$ をもつ。
導関数 $f^{\prime}(x)$ が符号をかえないならば、 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ であっても、 $f(x)$ は $x=x_0$ で極大にも極小にもならない

$f'(x)$ の符号の判定に2次導関数 $f''(x)$ を使うことができる。

$f'(x_0)=0$ のとき、 $f''(x_0) < 0$ であることは $f'(x)$ が減少状態であり、 $x=x_0$ において正から0を通って負になることがわかる。

$f'(x_0)=0$ のとき、 $f''(x_0) > 0$ であることは $f'(x)$ が増加状態であり、 $x=x_0$ において負から0を通って正になることがわかる。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib

def f(x):
    return np.sin(x)

def f1(x):
    return np.cos(x)

def f2(x):
    return -np.sin(x)


x = np.linspace(0, 6, 100)

fig, ax = plt.subplots(figsize=[7, 3])

ax.plot(x, f(x), label=r"$f(x)$", color="steelblue")
ax.plot(x, f1(x), label=r"$f'(x)$", color="dodgerblue", linestyle="--", alpha=0.6)
ax.plot(x, f2(x), label=r"$f''(x)$", color="deepskyblue", linestyle="-.", alpha=0.6)

x0 = np.pi/2
x1 = 3*np.pi/2
ax.axvline(x=x0, color="gray", alpha=0.5, linestyle=":")
ax.axvline(x=x1, color="gray", alpha=0.5, linestyle=":")
ax.axhline(y=0, color="gray", alpha=0.8)

ax.legend()
ax.set(xlabel="x", ylabel="y")
ax.text(x0, f(x0) - 0.15, "極大", color="steelblue", ha="center")
ax.text(x1, f(x1) + 0.15, "極小", color="steelblue", ha="center")
ax.text(x0, f1(x0) - 0.15, r"$f'(x)=0$", color="dodgerblue", ha="center")
ax.text(x1, f1(x1) - 0.15, r"$f'(x)=0$", color="dodgerblue", ha="center")
ax.text(x0, f2(x0) + 0.15, r"$f''(x)<0$", color="deepskyblue", ha="center")
ax.text(x1, f2(x1) - 0.2, r"$f''(x)>0$", color="deepskyblue", ha="center")
fig.show()

よって、きょくちのはんて

最大値と最小値¶

閉区間 $a \leq x \leq b$ で連続な関数 $f(x)$ の最大値と最小値を考える。

この場合、次の2点に注意する必要がある。

区間内に極大（または極小）になる点が複数あり得るため、それらを比べて最大値（最小値）を探索する必要がある
区間の端点 $a, b$ が最大値（最小値）になる可能性があるため、端点とも比較する必要がある