方向微分 - データサイエンス関連+αのメモ

あるベクトル $\boldsymbol{v}=\left(v_1, \ldots, v_n\right)$ に沿った、スカラー関数

f(\boldsymbol{x})=f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)

の 方向微分 （directional derivative）は、極限

\nabla_{\boldsymbol{v}} f(\boldsymbol{x})=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\boldsymbol{x}+h \boldsymbol{v})-f(\boldsymbol{x})}{h}

として定義される関数である。

方向微分は偏微分の概念を一般化するものである。

また、方向微分を一般化したものはガトー微分である（ガトー微分の特別な場合が方向微分）

関数 $f$ が $\boldsymbol{x}$ において微分可能であるなら、任意のベクトル $\boldsymbol{v}$ に沿った方向微分が存在し、

\nabla_{\boldsymbol{v}} f(\boldsymbol{x})=\nabla f(\boldsymbol{x}) \cdot \boldsymbol{v}

が成立する。ここで $\nabla$ は勾配を表し、 $\cdot$ はドット積を表す。

ガトー微分¶

$X$ と $Y$ はノルム空間とする。 $f: X \to Y$ の $x\in X$ での $0\neq t \in X$ に沿ったガトー微分は

D_t f(x) := \lim_{h \to 0} \frac{ f(x+ht) - f(x) }{h}

として右辺の極限が存在する限りにおいて定める。

通常の方向微分は $X, Y$ が有限次元のユークリッド空間になっているガトー微分