全微分 - データサイエンス関連+αのメモ

2変数関数 $z=f(x,y)$ があるとし、独立変数 $x,y$ の微分 $dx$ と $dy$ は、任意の増分 $\Delta x, \Delta y$ とする（ $dx=\Delta x, dy = \Delta y$ ）。

関数 $z=f(x,y)$ の 全微分 （total differential）は

dz := \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} dx + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} dy

例

$z=xy$ とすると、

dz = y dx + x dy

合成関数の導関数¶

関数 $z=f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ において, $x_1, x_2, \cdots, x_n$ が変数 $t$ に依存するなら、

\frac{d z}{d t}=\frac{\partial z}{\partial x_1} \frac{d x_1}{d t}+\frac{\partial z}{\partial x_2} \frac{d x_2}{d t}+\cdots+\frac{\partial z}{\partial x_n} \frac{d x_n}{d t}