IRTモデルの仮定

標準的なIRTモデルの仮定

一次元性 ：能力は1次元で表せる
局所独立性 ： $\theta$ で条件づけた下での項目間の独立性。尤度関数の構築のために仮定。

一次元性¶

2PLMのように1次元の能力パラメータ $\theta$ をもつモデルは、能力が1次元で表せることを仮定している。
データがこのモデルに合っているかどうかを確かめる必要がある

検証方法¶

スクリープロットを描き、第1主成分が突出して高ければ一次元性を満たすと判断する。厳密な判断基準はない。

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# サンプルデータの生成
# ------------------------------
import numpy as np
import pandas as pd

np.random.seed(42)

n_persons = 100
n_items = 10

# 能力θと項目困難度bを設定
theta = np.random.normal(0, 1, n_persons)
b = np.random.normal(0, 0.2, n_items)
a = np.random.normal(0, 0.1, n_items)

# 2PLMで応答を生成
prob = 1 / (1 + np.exp(- a * (theta[:, None] - b)))
responses = np.random.binomial(1, prob)

df = pd.DataFrame(responses, columns=[f"item_{i+1}" for i in range(n_items)])
# print(df.head())

# ------------------------------
# スクリープロット
# ------------------------------
import numpy as np
from ordinalcorr import hetcor

cor_matrix = hetcor(df)
eigenvalues, _ = np.linalg.eig(cor_matrix)
eigenvalues = np.sort(eigenvalues)[::-1]

import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(4, 2))
plt.plot(range(1, len(eigenvalues) + 1), eigenvalues, 'o-', linewidth=2)
plt.title("Scree Plot")
plt.xlabel("Component Number")
plt.ylabel("Eigenvalue")
plt.xticks(range(1, len(eigenvalues) + 1))
plt.grid(True)
plt.show()

局所独立性（local independence）¶

局所独立性（local independence） の定義は「能力 $\theta$ の値を固定したもとで、各項目の反応 $u_j$ は独立」というもの。

局所独立性が仮定される理由は2つある

$\theta$ が反応傾向の変動要因だから
尤度関数が作りやすいから

1. $\theta$ が反応傾向の変動要因だから¶

IRTモデルでは、各項目への反応傾向（正答率） $u_{j}$ が変化する要因は $\theta$ であると仮定して項目反応曲線をモデリングしている。

$\theta$ が各項目の反応 $u_j$ に影響しているため、 $\theta$ が反応同士 $u_j, u_l$ の疑似相関 $corr(u_j, u_l)$ を起こす第3の変数（交絡因子）になっている状態。しかし $\theta$ の値を固定する（統制する）と、この疑似相関は消えるはず。

もし $\theta$ 以外に $u_j$ に影響を与える共通の要因（ $\theta$ 以外の交絡因子）があるなら、局所独立性が満たされない。ということ。

import graphviz

graphviz.Source("""
digraph g {
    graph [rankdir = LR];
    node [shape = square];
    u1
    u2
    u3
    node [shape = circle];
    theta [label="θ"]

    theta -> {u1, u2, u3}
    {rank = same; u1, u2, u3}
}
""")

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2. 尤度関数が作りやすいから¶

尤度関数（≒反応パターンの同時分布）を各項目の積

\begin{aligned} L(\mathbf{T}, \boldsymbol{\theta} \mid \mathbf{U}) &=\prod_{i=1}^I \prod_{j=1}^J P_j(\theta_i \mid \mathbf{T})^{u_{i j}} \cdot \{ 1 - P_j(\theta_i \mid \mathbf{T}) \} ^{1-u_{i j}} \end{aligned}

(1)

とするために、 $\theta$ で条件づけた下での項目間の独立性を仮定している。（なお $\mathbf{T}$ は項目パラメータ、 $u_{i j}$ は二値の反応、 $\mathbf{U}$ は反応パターン行列、 $P_j(\theta_i \mid \mathbf{T})$ はICC）

局所独立性の正確な検証は難しいが、 $Q_3$ 統計量が参考によく用いられる。

$Q_3$ 統計量は

$\theta$ によって項目間の相関関係が十分に説明されているとすれば、その影響を除去した残差得点同士の相関は0に近くなるはず
$\theta$ 以外に項目間に相関をもたらす要因がある場合は $\theta$ の影響を除いてもなお相関が残る

という考え方をとっている。

目安としては、「 $Q_3 > 0.20$ の項目ペアは局所独立性の侵害を疑う必要がある」とされるが0.20も絶対の閾値ではない。

局所依存性があるとどうなるのか？¶

局所依存性を考慮した場合に比べて項目母数の推定誤差が増加（登藤直弥. 2012. 項目反応間の局所依存性が項目母数の推定に与える影響）

一次元性¶

検証方法¶

局所独立性（local independence）¶

1. θ\thetaθが反応傾向の変動要因だから¶

2. 尤度関数が作りやすいから¶

局所依存性があるとどうなるのか？¶

1. $\theta$ が反応傾向の変動要因だから¶