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線形写像

線型写像（linear mapping）あるいは線型変換（linear transformation; 一次変換）は、ベクトルの和とスカラー倍という演算をもつ特別の写像のことを指す。

Undefined control sequence: \DeclareMathOperator at position 57: …{#1}}
% 演算子の定義
\̲D̲e̲c̲l̲a̲r̲e̲M̲a̲t̲h̲O̲p̲e̲r̲a̲t̲o̲r̲{\im}{ \text{Im…

% 太字のalias
\newcommand{\b}[1]{\boldsymbol{#1}}
% 演算子の定義
\DeclareMathOperator{\im}{ \text{Im} }
\DeclareMathOperator{\rank}{ \text{rank} }
\DeclareMathOperator{\span}{ \text{Span} }
\DeclareMathOperator{\Ker}{ \text{Ker} }

写像

集合 XX の元に対して, 集合 YY の元を定める対応 ff のことを写像といい

f:X⟶Yf: X \longrightarrow Y
(2)

と表わす。 そのとき XX を ff の定義域、 YY を ff の 値域 あるいは 終域 という。

写像 f:X→Yf: X \rightarrow Y によって x∈Xx\in Xにy∈Xy\in Xが対応するとき、 yy を ff による xx の像といい、

y=f(x)y=f(x)
(3)

と書く。

xx が XX のすべての元をわたるとき、 xx の像 f(x)f(x) 全体のつくる YY の部分集合を、 写像 ff の像といい, Im⁡f\operatorname{Im} f または f(X)f(X) で表わす。すなわち、

Im⁡f=f(X)={f(x)∣x∈X}\operatorname{Im} f=f(X)=\{f(x) \mid x \in X\}
(4)

である。

全射

一般に Im⁡f\operatorname{Im} f は YY の部分集合であるが、とくに

Im⁡f=Y\operatorname{Im} f=Y
(5)

のとき、 ff は 全射 であるという.

単射

x1,x2∈Xx_1, x_2 \in X、x1≠x2x_1 \neq x_2に対してf(x1)≠f(x2)f(x_1) \neq f(x_2)が成り立つとき、ffは 単射 であるという。

ffが全射かつ単射のとき、ffは 全単射 であるという。

恒等写像

x∈Xx\in Xに対して同じ元xxを対応させる写像を 恒等写像 といい、通常

id⁡:X→X\operatorname{id}: X\to X
(6)

で表す。

逆写像

写像f:X→Yf: X\to Yが全単射ならば、写像f−1:Y→Xf^{-1}: Y \to Xが存在して、

f∘f−1=id⁡f−1∘f=id⁡f \circ f^{-1} = \operatorname{id} \quad f^{-1} \circ f = \operatorname{id}
(7)

を満たす。f−1f^{-1}を 逆写像 という。

線形写像

標準基底

Rn\mathbb{R}^n上の次のベクトルを考える

Undefined control sequence: \b at position 1: \̲b̲{e}_1 =
\begin{…

\b{e}_1 =
\begin{pmatrix}
 1 \\
 0 \\
 \vdots \\
 0
\end{pmatrix}
, \hspace{1em}
\b{e}_2 =
\begin{pmatrix}
 0 \\
 1 \\
 \vdots \\
 0
\end{pmatrix}
, \hspace{1em}
\cdots
, \hspace{1em}
\b{e}_n =
\begin{pmatrix}
 0 \\
 0 \\
 \vdots \\
 1
\end{pmatrix}

j=1,2,…,nj=1,2,\dots,nとしたとき、\b{e}_jのjj番目の要素が1、それ以外のすべての要素が0のベクトルである。

こうしたベクトルの組\b{e}_1, \b{e}_2, \dots, \b{e}_nを標準基底という。

標準基底の写り方で行列が定まる

線形写像f:Rn→Rmf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^mが与えられたとする。これらの像はmm次元のベクトルになる。

Undefined control sequence: \b at position 3: f(\̲b̲{e}_j) =
\begin…

f(\b{e}_j) =
\begin{pmatrix}
 a_{1j} \\
 a_{2j} \\
 \vdots \\
 a_{mj}
\end{pmatrix}

Rm\mathbb{R}^mの標準基底を\b{e}'_1, \b{e}'_2, \dots, \b{e}'_mとすると

Undefined control sequence: \b at position 17: …begin{align}
f(\̲b̲{e}_j)
&= \begi…

\begin{align}
f(\b{e}_j)
&= \begin{pmatrix}
     a_{1j} \\
     a_{2j} \\
     \vdots \\
     a_{mj}
    \end{pmatrix}\\
&= \begin{pmatrix}
     a_{1j} \\
     0 \\
     \vdots \\
     0
    \end{pmatrix}
  + \begin{pmatrix}
     0 \\
     a_{2j} \\
     \vdots \\
     0
    \end{pmatrix}
  + \cdots
  + \begin{pmatrix}
     0 \\
     0 \\
     \vdots \\
     a_{mj}
    \end{pmatrix}
\\
&= a_{1j}
    \begin{pmatrix}
     1 \\
     0 \\
     \vdots \\
     0
    \end{pmatrix}
  + a_{2j}
    \begin{pmatrix}
     0 \\
     1 \\
     \vdots \\
     0
    \end{pmatrix}
  + \cdots
  + a_{mj}
    \begin{pmatrix}
    0 \\
    0 \\
    \vdots \\
    1
    \end{pmatrix}
\\
&= a_{1j} \b{e}'_1 + a_{2j} \b{e}'_2 + \cdots + a_{mj} \b{e}'_m\\
&= \sum_{i=1}^m a_{ij} \b{e}'_i
\end{align}

このような列ベクトルを順に並べるとm×nm\times n行列が定まる。この行列をAAと書くことにすると

Undefined control sequence: \b at position 25: …in{pmatrix}
 f(\̲b̲{e}_1) & f(\b{e…

A = 
\begin{pmatrix}
 f(\b{e}_1) & f(\b{e}_2) & \cdots & f(\b{e}_j) & \cdots & f(\b{e}_n)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1m}\\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2m}\\
 \vdots & \vdots &  & & \vdots\\
 a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nm}\\
\end{pmatrix}

つまり、線形写像f:Rn→Rmf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^mが与えられると、それに応じてm×nm\times n行列が定まる。

超ざっくりまとめると「行列は写像である」ということになる。

線形写像はベクトルに行列をかけることにより与えられる

Rn\mathbb{R}^nのベクトルを\b{x}で表すことにする。

Undefined control sequence: \b at position 1: \̲b̲{x} =
\begin{pm…

\b{x} =
\begin{pmatrix}
 x_1 \\
 x_2 \\
 \vdots\\
 x_n
\end{pmatrix}
= x_1 \b{e}_1 + x_2 \b{e}_2 + \cdots + x_n \b{e}_n

f(\b{x})は、線形写像が満たしている線形性の条件を使って整理すると

Undefined control sequence: \b at position 17: …begin{align}
f(\̲b̲{x})
&= f(x_1 \…

\begin{align}
f(\b{x})
&= f(x_1 \b{e}_1 + x_2 \b{e}_2 + \cdots + x_n \b{e}_n)\\
&= f(x_1 \b{e}_1) + f(x_2 \b{e}_2) + \cdots + f(x_n \b{e}_n)\\
&= x_1 f(\b{e}_1) + x_2 f(\b{e}_2) + \cdots + x_n f(\b{e}_n)\\
&= x_1
    \begin{pmatrix}
        a_{11} \\
        a_{21} \\
        \vdots \\
        a_{m1}
    \end{pmatrix}
    + x_2
    \begin{pmatrix}
        a_{12} \\
        a_{22} \\
        \vdots \\
        a_{m2}
    \end{pmatrix}
    + \cdots
    + x_n
    \begin{pmatrix}
        a_{1n} \\
        a_{2n} \\
        \vdots \\
        a_{mn}
    \end{pmatrix}\\
&=
    \begin{pmatrix}
     a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1m}\\
     a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2m}\\
     \vdots & \vdots &  & & \vdots\\
     a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nm}\\
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
     x_1 \\
     x_2 \\
     \vdots\\
     x_n
    \end{pmatrix}\\
&= \b{A x}
\end{align}

となる。

行列は線形写像を定義する

逆に、行列が与えられると線形写像が定義される。

任意のm×nm\times n行列A=(aij)A=(a_{ij})が与えられたとき、写像

fA:Rn→Rmf_A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m
(18)

を

Undefined control sequence: \b at position 1: \̲b̲{x} \in \mathbb…

\b{x} \in \mathbb{R}^n

に対して

Undefined control sequence: \b at position 5: f_A(\̲b̲{x}) = \b{A x}

f_A(\b{x}) = \b{A x}

によって定義する。

この写像fAf_Aは以下を満たすため線形写像である

  1. f_A(\b{x} + \b{y}) = A(\b{x}+\b{y}) = A\b{x} + A\b{y} = f_A(\b{x}) + f_A(\b{y})

  2. f_A(c \b{x}) = A(c \b{x}) = c A\b{x} = c f_A(\b{x})

線形写像の合成＝表現行列の積

2つの線形写像の合成に対応する行列は、それぞれの写像に対応する行列の積に等しい（そうなるように行列の積が定義されたらしい）

証明

A=(aij),B=(bkj)A=(a_{ij}), B=(b_{kj})とし、

Rn\mathbb{R}^nの標準基底を\b{e}_1, \cdots, \b{e}_n

Rm\mathbb{R}^mの標準基底を\b{e}'_1, \cdots, \b{e}'_m

Rl\mathbb{R}^lの標準基底を\b{e}''_1, \cdots, \b{e}''_l

とすると

Undefined control sequence: \b at position 463: …{k=1}^l c_{ki} \̲b̲{e}_k''
\end{al…

\begin{aligned}
g \circ f\left(\boldsymbol{e}_i\right) 
& = g\left(\sum_{j=1}^m a_{j i} \boldsymbol{e}_j^{\prime}\right)
= \sum_{j=1}^m a_{j i} g\left(\boldsymbol{e}_j^{\prime}\right)
= \sum_{j=1}^m a_{j i} \sum_{k=1}^l b_{k j} \boldsymbol{e}_k{ }^{\prime \prime} \\
& =\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^l a_{j i} b_{k j} \boldsymbol{e}_k{ }^{\prime \prime}
= \sum_{k=1}^l\left(\sum_{j=1}^m b_{k j} a_{j i}\right) \boldsymbol{e}_k^{\prime \prime}\\
&= \sum_{k=1}^l c_{ki} \b{e}_k''
\end{aligned}

ベクトルとして等しいため各成分同士が等しいということであり、\b{e}_k''の係数がそれぞれ等しい

∑j=1mbkjaji=cki\sum_{j=1}^m b_{k j} a_{j i} = c_{ki}
(25)

行列の各成分でも等しいことが成り立つため

BA=CBA = C
(26)

同型写像

ベクトル空間 VV からベクトル空間 WW への線形写像 ff が全単射であるとき, ff を VV から WW への同型写像という。

また, 同型写像 f:V→Wf: V \rightarrow W が存在するとき, VV は WW に同型であるといい, V≅WV \cong W と書く。

f:V→Wf: V \rightarrow W が同型写像であると、ff の逆写像 f−1:W→Vf^{-1}: W \rightarrow V が存在する。 f−1f^{-1} も全単射であるが、必然的に線形写像になる。

証明

V,WV, WをR\mathbb{R}上のベクトル空間とする。

x,y∈W\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in W とする。このとき， f∘f−1f \circ f^{-1} は恒等写像で， ff は線形写像であるから，

x+y=f∘f−1(x+y)x+y=f∘f−1(x)+f∘f−1(y)=f(f−1(x)+f−1(y))\begin{aligned} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} & =f \circ f^{-1}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}) \\ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} & =f \circ f^{-1}(\boldsymbol{x})+f \circ f^{-1}(\boldsymbol{y}) \\ & =f\left(f^{-1}(\boldsymbol{x})+f^{-1}(\boldsymbol{y})\right) \end{aligned}
(27)

が成立する。

よって f∘f−1(x+y)=f(f−1(x)+f−1(y))f \circ f^{-1}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=f\left(f^{-1}(\boldsymbol{x})+f^{-1}(\boldsymbol{y})\right) であり，両辺を f−1f^{-1} でうつすと，

f−1(x+y)=f−1(x)+f−1(y)f^{-1}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=f^{-1}(\boldsymbol{x})+f^{-1}(\boldsymbol{y})
(28)

となる。

また k∈Rk \in \mathbb{R} に対して

kx=f∘f−1(kx)(∵恒等写像のため)kx=kf∘f−1(x)=f(kf−1(x))(∵fが線形性を満たすため)\begin{aligned} & k \boldsymbol{x}=f \circ f^{-1}(k \boldsymbol{x}) \quad (\because 恒等写像のため) \\ & k \boldsymbol{x}=k f \circ f^{-1}(\boldsymbol{x})=f\left(k f^{-1}(\boldsymbol{x})\right) \quad (\because fが線形性を満たすため) \end{aligned}
(29)

なので, f∘f−1(kx)=f(kf−1(x))f \circ f^{-1}(k \boldsymbol{x})=f\left(k f^{-1}(\boldsymbol{x})\right) がわかる。両辺を f−1f^{-1} でうつすと、

f−1(kx)=kf−1(x)f^{-1}(k \boldsymbol{x})=k f^{-1}(\boldsymbol{x})
(30)

となる。ゆえに f−1f^{-1} は線形写像である。（線形同型写像とベクトル空間の同型 | 数学の景色）

参考文献

数学
基底
数学
像、核、次元定理