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直交化

直交化

正規直交系

証明

a1,⋯ ,ama_1, \cdots, a_m を正規直交系とする。 いま,

c1a1+⋯+cmam=0c_1 \boldsymbol{a}_1+\cdots+c_m \boldsymbol{a}_m=\mathbf{0}
(1)

とすると，任意の i (1≦i≦m)i \ (1 \leqq i \leqq m) について， ⟨ai,0⟩=0\langle \boldsymbol{a}_i, \boldsymbol{0}\rangle = 0 であるから,

0=⟨ai,0⟩=⟨ai,c1a1+⋯+cmam⟩=∑j=1mcj⟨ai,aj⟩(内積の線形性のため)=ci⟨ai,ai⟩(正規直交系の定義より⟨ai,ai⟩=1)=ci\begin{aligned} 0 &= \langle \boldsymbol{a}_i, \mathbf{0} \rangle\\ &= \langle \boldsymbol{a}_i, c_1 \boldsymbol{a}_1+\cdots+c_m \boldsymbol{a}_m\rangle\\ &= \sum_{j=1}^m c_j \langle \boldsymbol{a}_i, \boldsymbol{a}_j\rangle \quad (内積の線形性のため)\\ &=c_i \langle \boldsymbol{a}_i, \boldsymbol{a}_i\rangle \quad (正規直交系の定義より \langle \boldsymbol{a}_i, \boldsymbol{a}_i\rangle = 1)\\ &=c_i \end{aligned}
(2)

よって, a1,⋯ ,ama_1, \cdots, a_m は 1 次独立である。

シュミットの正規直交化法

シュミットの正規直交化法は、内積空間VVにおいて1次独立なベクトルの系a1,⋯ ,ar\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_rが与えられたとき、正規直交系v1,⋯ ,vr\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_rを作り出す方法。

まずa1≠0\boldsymbol{a}_1 \neq \boldsymbol{0}より、

v1=a1∥a1∥\boldsymbol{v}_1 = \frac{\boldsymbol{a}_1}{\|\boldsymbol{a}_1\|}
(3)

とおけば、∥v1∥=1\|\boldsymbol{v}_1\| = 1となる

つづいて、a2−cv1, c∈R\boldsymbol{a}_2 - c \boldsymbol{v}_1, \ c\in \mathbb{R} とおく。 ⟨a2−cv1,v1⟩=0\langle \boldsymbol{a}_2 - c \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_1 \rangle = 0（v1\boldsymbol{v}_1と直交する）とおいて、このccを求める。

⟨a2−cv1,v1⟩=⟨a2,v1⟩−c⟨v1,v1⟩=0\langle \boldsymbol{a}_2 - c \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_1 \rangle = \langle \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{v}_1 \rangle - c \langle \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_1 \rangle = 0
(4)

より

c=⟨a2,v1⟩⟨v1,v1⟩=⟨a2,v1⟩c = \frac{ \langle \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{v}_1 \rangle }{ \langle \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_1 \rangle } = \langle \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{v}_1 \rangle
(5)

となる。a1\boldsymbol{a}_1 と a2\boldsymbol{a}_2は1次独立であり、v1\boldsymbol{v}_1はa1\boldsymbol{a}_1のスカラー倍であるから、a2−cv≠0\boldsymbol{a}_2 - c \boldsymbol{v} \neq \boldsymbol{0}である。 そこで

v2=a2−cv1∥a2−cv1∥\boldsymbol{v}_2 = \frac{\boldsymbol{a}_2 - c \boldsymbol{v}_1 } {\| \boldsymbol{a}_2 - c \boldsymbol{v}_1 \| }
(6)

とおけば、

⟨v1,v2⟩=0,∥v2∥=1\langle \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2 \rangle = 0, \quad \|\boldsymbol{v}_2\| = 1
(7)

となる。ここで a1a_1 と a2a_2 の生成するベクトル空間と v1v_1 と v2v_2 の生成するベクトル空間は一致している。

3番目のベクトルa3\boldsymbol{a}_3について、c1=⟨a3,v1⟩,c2=⟨a3,v2⟩c_1 = \langle \boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{v}_1 \rangle, c_2 = \langle \boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{v}_2 \rangleとおくと、

⟨a3−(c1v1+c2v2),vi⟩=0(i=1,2)\langle \boldsymbol{a}_3 - (c_1 \boldsymbol{v}_1 + c_2 \boldsymbol{v}_2), \boldsymbol{v}_i \rangle =0 \quad (i=1,2)
(8)

となる。

仮定よりa1,a2,a3a_1,a_2,a_3は1次独立であり、v1,v2v_1,v_2はa1,a2a_1,a_2の1次結合で書き表されるから、a3−(c1v1+c2v2)≠0\boldsymbol{a}_3 - (c_1 \boldsymbol{v}_1 + c_2 \boldsymbol{v}_2) \neq \boldsymbol{0}である。 よって

v3=a3−(c1v1+c2v2)∥a3−(c1v1+c2v2)∥\boldsymbol{v}_3 = \frac{ \boldsymbol{a}_3 - (c_1 \boldsymbol{v}_1 + c_2 \boldsymbol{v}_2) } {\| \boldsymbol{a}_3 - (c_1 \boldsymbol{v}_1 + c_2 \boldsymbol{v}_2)\| }
(9)

とすれば、

⟨v3,vi⟩=0(i=1,2)∥v3∥=1\langle \boldsymbol{v}_3, \boldsymbol{v}_i \rangle = 0 \quad (i=1,2) \quad \| \boldsymbol{v}_3 \| = 1
(10)

である。 以下この操作を続ければよい。

厳密には、帰納法を使う

1≦k<r1 \leqq k<r なる kk に対して 正規直交系 v1,⋯ ,vk\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_k が存在して 1≦i≦k1 \leqq i \leqq k なる任意の ii に対して v1,⋯ ,vi\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_i が生成するベクトル空間と a1,⋯ ,ai\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_i が生成 するベクトル空間が一致すると仮定する。すなわち

S[v1,⋯ ,vi]=S[a1,⋯ ,ai](i=1,⋯ ,k)S\left[\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_i\right]=S\left[\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_i\right] \quad(i=1, \cdots, k)
(11)

そのとき

ci=⟨ak+1,vi⟩(i=1,⋯ ,k)c_i=\langle a_{k+1}, v_i\rangle \quad(i=1, \cdots, k)
(12)

とおくと

⟨ak+1−∑i=1kcivi,vj⟩=0(j=1,⋯ ,k)\langle \boldsymbol{a}_{k+1}-\sum_{i=1}^k c_i \boldsymbol{v}_i, \boldsymbol{v}_j \rangle = 0 \quad(j=1, \cdots, k)
(13)

である。 仮定より a1,⋯ ,ak,ak+1\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_k, \boldsymbol{a}_{k+1} が 1次独立で、帰納法の仮定で v1,⋯ ,vk\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_k は a1,⋯ ,ak\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_k の 1 次結合で表わされるから、

ak+1−∑i=1kcivi≠0\boldsymbol{a}_{k+1}-\sum_{i=1}^k c_i \boldsymbol{v}_i \neq \mathbf{0}
(14)

よって

vk+1=ak+1−∑i=1kcivi∥ak+1−∑i=1kcivi∥\boldsymbol{v}_{k+1}=\frac{\boldsymbol{a}_{k+1}-\sum_{i=1}^k c_i \boldsymbol{v}_i}{\left\|\boldsymbol{a}_{k+1}-\sum_{i=1}^k c_i \boldsymbol{v}_i\right\|}
(15)

とおくと、

⟨vk+1,vj⟩=0(j=1,⋯ ,k),∥vk+1∥=1\langle \boldsymbol{v}_{k+1}, \boldsymbol{v}_j\rangle = 0 \quad(j=1, \cdots, k), \quad\left\|\boldsymbol{v}_{k+1}\right\|=1
(16)

となる。帰納法の仮定と vk+1\boldsymbol{v}_{k+1} の定義の式から、vk+1\boldsymbol{v}_{k+1} は a1,⋯ ,ak+1\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_{k+1} の1次結合で表わされ、同じ式から ak+1\boldsymbol{a}_{k+1} は v1,⋯ ,vk+1\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_{k+1} の 1次結合で表わされるから、

S[v1,⋯ ,vk+1]=S[a1,⋯ ,ak+1]S\left[\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_{k+1}\right]=S\left[\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_{k+1}\right]
(17)

が成り立つ。

証明

WW の基底 a1,⋯ ,ar\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_r をとり、これをシュミットの正規直交化法で正規直交系 v1,⋯ ,vrv_1, \cdots, v_r をつくると

S[v1,⋯ ,vr]=S[a1,⋯ ,ar]=WS\left[\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_r\right]=S\left[\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_r\right]=W
(18)

であるから、v1,⋯ ,vrv_1, \cdots, v_r は WW の正規直交基底である。 とくに W=VW=V のときが定理の後半の主張である。

# 例
import numpy as np

a1 = np.array([1, 1, 1])
a2 = np.array([0, 1, 1])
a3 = np.array([0, 0, 1])

v1 = a1 / np.linalg.norm(a1)
c = a2 @ v1
v2 = (a2 - c * v1) / np.linalg.norm(a2 - c * v1)

c1 = a3 @ v1
c2 = a3 @ v2
v = a3 - (c1 * v1 + c2 * v2)
v3 = (v) / np.linalg.norm(v)

np.array([v1, v2, v3]).T.round(1)
array([[ 0.6, -0.8, -0. ], [ 0.6, 0.4, -0.7], [ 0.6, 0.4, 0.7]])
import sympy as sp

A = sp.Matrix([
    [3, 2],
    [2, 3]
])

eig = A.eigenvects()
x1 = eig[0][2][0]
x2 = eig[1][2][0]

a1 = A[:, 0]
a2 = A[:, 1]

p1 = x1 / x1.norm()
c = (a2.T @ p1)[0]
c
Loading...
P = sp.Matrix(sp.GramSchmidt([x1, x2])).reshape(2,2).T
P
Loading...
P.inv()
Loading...

計量を保つ写像

2つの計量ベクトル空間（内積空間）V,V′V, V^{\prime} の間の線形写像 f:V→V′f: V \rightarrow V^{\prime} が, 任意の x,y\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} ∈V\in V に対して等式

⟨f(x),f(y)⟩=⟨x,y⟩\langle f(\boldsymbol{x}), f(\boldsymbol{y}) \rangle =\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle
(24)

を満たすとき, ff は 計量を保つ, または 内積を保つ という。

また、ffを 計量同型写像 であるという。

直交変換

V=V′V = V'のとき、計量同型写像f:V→Vf: V\to Vは 直交変換 という。

証明

(1)  ⟹  (2)f(1) \implies (2) \quad f は直交変換であるから

⟨f(ai),f(aj)⟩=⟨ai,aj⟩=δij(1≦i,j≦n)\langle f(\boldsymbol{a}_i), f(\boldsymbol{a}_j)\rangle = \langle \boldsymbol{a}_i, \boldsymbol{a}_j\rangle = \delta_{i j} \quad(1 \leqq i, j \leqq n)
(25)

となる。つまり, f(a1),⋯ ,f(an)f(\boldsymbol{a}_1), \cdots, f(\boldsymbol{a}_n) は VV の正規直交系である。定理よりこれらは 1 次独立であり、

dim⁡V=n\operatorname{dim} V=n
(26)

であるので、f(a1),⋯ ,f(an)f\left(\boldsymbol{a}_1\right), \cdots, f\left(\boldsymbol{a}_n\right) は正規直交基底である。

(1)⟸(2)V(1) \Longleftarrow(2) \quad V の任意のべクトル x,y\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} を

x=x1a1+⋯+xnan,y=y1a1+⋯+ynan\boldsymbol{x}=x_1 \boldsymbol{a}_1+\cdots+x_n \boldsymbol{a}_n, \quad \boldsymbol{y}=y_1 \boldsymbol{a}_1+\cdots+y_n \boldsymbol{a}_n
(27)

と表わすとき、定理より

⟨x,y⟩=x1y1+⋯+xnyn\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle = x_1 y_1+\cdots+x_n y_n
(28)

である。また、ff は線形写像であるから

f(x)=x1f(a1)+⋯+xnf(an),f(y)=y1f(a1)+⋯+ynf(an)f(\boldsymbol{x}) = x_1 f(\boldsymbol{a}_1) + \cdots + x_n f(\boldsymbol{a}_n), \quad f(\boldsymbol{y}) = y_1 f(\boldsymbol{a}_1) + \cdots + y_n f(\boldsymbol{a}_n)
(29)

であり，仮定より f(a1),⋯ ,f(an)f\left(\boldsymbol{a}_1\right), \cdots, f\left(\boldsymbol{a}_n\right) は正規直交基底であるから，

⟨f(x),f(y)⟩=x1y1+⋯+xnyn\langle f(\boldsymbol{x}), f(\boldsymbol{y}) \rangle = x_1 y_1+\cdots+x_n y_n
(30)

となる. よって等式

⟨f(x),f(y)⟩=⟨x,y⟩\langle f(\boldsymbol{x}), f(\boldsymbol{y}) \rangle = \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle
(31)

が成り立つ。

直交行列

nn次正方行列AAが

ATA=AAT=EA^T A = A A^T = E
(32)

を満たすとき（つまりAT=A−1A^T = A^{-1}）のとき、AAを直交行列という。

証明

nn 次正方行列 AA が与えられたとき、A=(a1,⋯ ,an)=(a1′⋮an′)A=\left(\boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n\right)=\left(\begin{array}{c}\boldsymbol{a}_1^{\prime} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_n^{\prime}\end{array}\right) をそれぞれ AA の列ベクトル表示、行ベクトル表示とする。

(1)   ⟺  \iff (2):

A は直交行列   ⟺  ATA=E  ⟺  aiTaj=⟨ai,aj⟩=δij(1≦i,j≦n)(ATA の (i,j) 成分が aiTaj であるから )  ⟺  a1,⋯ ,an は Rn の正規直交基底 \begin{aligned} A \text { は直交行列 } \iff & A^T A = E \\ \iff & \boldsymbol{a}_i^T \boldsymbol{a}_j = \langle \boldsymbol{a}_i, \boldsymbol{a}_j \rangle =\delta_{i j} \quad(1 \leqq i, j \leqq n) \\ & \left( A^T A \text { の }(i, j) \text { 成分が } \boldsymbol{a}_i^T \boldsymbol{a}_j \text { であるから }\right) \\ \iff & \boldsymbol{a}_1, \cdots, \boldsymbol{a}_n \text { は } \mathbb{R}^n \text { の正規直交基底 } \end{aligned}
(33)

(2)  ⟺  \iff (4):

Rn\mathbb{R}^n の標準基底 e1,⋯ ,en\boldsymbol{e}_1, \cdots, \boldsymbol{e}_n は， Rn\mathbb{R}^n の標準的な内積に関して正規直交基底である。そして

Ae1=a1,⋯ ,Aen=anA \boldsymbol{e}_1 = \boldsymbol{a}_1, \cdots, A \boldsymbol{e}_n = \boldsymbol{a}_n
(34)

であるから，定理より次の同値が成り立つ。 A:Rn→RnA: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n は直交変換   ⟺  a,⋯ ,a\iff\boldsymbol{a}, \cdots, \boldsymbol{a} は Rn\mathbb{R}^n の正規直交基底

数学
内積空間
数学
ノルム線型空間とヒルベルト空間