行列の階数（rank） - データサイエンス関連+αのメモ

Undefined control sequence: \DeclareMathOperator at position 57: …{#1}}
% 演算子の定義
\̲D̲e̲c̲l̲a̲r̲e̲M̲a̲t̲h̲O̲p̲e̲r̲a̲t̲o̲r̲{\im}{ \text{Im…

% 太字のalias
\newcommand{\b}[1]{\boldsymbol{#1}}
% 演算子の定義
\DeclareMathOperator{\im}{ \text{Im} }
\DeclareMathOperator{\rank}{ \text{rank} }
\DeclareMathOperator{\span}{ \text{Span} }
\DeclareMathOperator{\Ker}{ \text{Ker} }

$m\times n$ 行列 $A$ に対し、 $A$ が定義する線形写像

A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m

(2)

の像空間の次元のことを ランク（階数） といい、\rank Aと表す。

Undefined control sequence: \rank at position 1: \̲r̲a̲n̲k̲ ̲A := \dim \Im A…

\rank A := \dim \Im A
= \dim \span\{ \boldsymbol{a}_1, \dots, \boldsymbol{a}_n \}

（ただし\b{a}_1, \dots, \b{a}_nは $A$ の列ベクトル）

さまざまなランクの定義¶

$m\times n$ 行列 $A$ に対し、次の1~6の数は一致する

$A$ が定義する線形写像の像空間\im Aの次元\dim \im A = \dim \span \{ \b{a}_1, \dots, \b{a}_n \}（ただし\b{a}_1, \dots, \b{a}_nは $A$ の列ベクトル）
$A$ の列ベクトルの中から選び得る1次独立なベクトルの最大個数
$A$ の行ベクトルの中から選び得る1次独立なベクトルの最大個数
$A$ の行ベクトルが生成する $\mathbb{R}^n$ の部分空間の次元
$A$ の0でない小行列式の最大次数
$A$ を行基本変形で階段行列に変形したときの0でない行の個数

1次独立なベクトルの最大個数¶

例1

A = \left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right)

(4)

のランクを求めるとする。列ベクトルを

A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{a}_2 & \boldsymbol{a}_3 \end{pmatrix}

(5)

とする。

c_1 \boldsymbol{a}_1 + c_2 \boldsymbol{a}_2 = \boldsymbol{0}

(6)

とすると、第2成分が0になるためには $c_2 = 0$ である必要がある。

そして $c_1 \boldsymbol{a}_1 = \boldsymbol{0}$ となるためには、 $c_1 = 0$ である必要がある。

よって $c_1 = c_2 = 0$ であるため、 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2$ は1️次独立である。

$\boldsymbol{a}_1 + \boldsymbol{a}_2 = \boldsymbol{a}_3$ であるため、

Undefined control sequence: \span at position 1: \̲s̲p̲a̲n̲(\boldsymbol{a}…

\span(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3)
= \span(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2)

であるため、\rank A = \dim \span(\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3) = 2

例2

\left(\begin{array}{rrr} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)

(8)

列ベクトルを $\begin{pmatrix} \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{a}_2 & \boldsymbol{a}_3 \end{pmatrix}$ とする。

c_1 \boldsymbol{a}_1 + c_2 \boldsymbol{a}_2 + c_3 \boldsymbol{a}_3 = \boldsymbol{0}

(9)

とすると、第4成分が0になるためには $c_2=0$ となり、第3成分をみることにより $c_1=0$ であり、第2成分を見ることにより $c_3=0$ であることがわかるから、 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3$ は1次独立で、ランクは3となる

小行列式¶

$m\times n$ 行列 $A$ があるとし、 $p$ を $p\leq m, p \leq n$ を満たす正の整数とする。 $A$ の $p$ 個の行と列を任意に取り出して作った $p$ 次の正方行列の行列式を $A$ の $p$ 次の小行列式 という。

たとえば、

A=\left[\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{array}\right]

(10)

に対して、2次の小行列式は

\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|, \quad\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{array}\right|, \quad\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{14} \\ a_{31} & a_{34} \end{array}\right|

(11)

などである。

$m\times n$ 行列の $p$ 次の小行列式は全部で $_mC_p \times _nC_p$ 個存在する。

$A$ の $r$ 次の小行列式の中に0でないものがあり、 $r+1$ 次以上の小行列はすべて0であるときの $r$ （0でない小行列式の最大次数）は $A$ の階数に等しい。

階段行列¶

$m\times n$ 行列の第 $i$ 行について、第1列から順番に数えて初めて0でない成分が出てくる列を第 $d_i$ 列とする。ただし、第 $i$ 行がすべて0のときは $d_i = n+1$ と約束する。

d_1 < d_2 < \cdots < d_i < d_{i+1} = \cdots = d_n = n+1

(12)

のとき、これを階段行列 (step matrix) という。

図で書くと以下のような行列である

\begin{pmatrix} * & \cdots & \cdots & \cdots\\ 0 & * & \cdots & \cdots\\ 0 & 0 & * & \cdots\\ 0 & 0 & 0 & *\\ \end{pmatrix}

(13)

ただし、 $*$ は任意の数。

階段行列の0でない行の個数はその行列のランクに等しい。

階段行列の例

\left(\begin{array}{lllll} 0 & 7 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

(14)

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

(15)

※単位行列も階段行列である

例：

\begin{pmatrix} 3 & 0 & 3\\ 0 & 5 & 0\\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}

(16)

第1行を-1倍して第3行に加えると

\begin{pmatrix} 3 & 0 & 3\\ 0 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

(17)

この階段行列の零でない行ベクトルの数は2なので、ランク（階数）は2

import numpy as np

A = np.array([
    [3, 0, 3],
    [0, 5, 0],
    [3, 0, 3]
])

np.linalg.matrix_rank(A)

2

階数標準形¶

行列 $A$ を行基本変形，列基本変形により

\begin{pmatrix} I_r & O\\ O & O \end{pmatrix}

(18)

の形に変形できたとき、これを $A$ の 階数標準形 あるいは単に 標準形 という。

定理任意の $m\times n$ 行列 $A$ は基本変形を有限回繰り返して、標準形

\begin{pmatrix} I_r & O_{r, n-r}\\ O_{m-r, r} & O_{m-r, n-r} \end{pmatrix}

(19)

に変形することができる。ここで $r$ は $A$ のランクに等しい。

# 例
import numpy as np

A = np.array([
    [3, 0, 3],
    [0, 5, 0],
    [3, 0, 3]
])

np.linalg.matrix_rank(A)

2

# 1行目を-1倍して3行目に加える
A[2, :] += -1 * A[0, :]
A

array([[3, 0, 3],
       [0, 5, 0],
       [0, 0, 0]])

# 1列目を-1倍して3列目に加える
A[:, 2] += -1 * A[:, 0]
A

array([[3, 0, 0],
       [0, 5, 0],
       [0, 0, 0]])

# (1/3)倍、(1/5)倍して1にする
A[0, 0] = (1/A[0, 0]) * A[0, 0]
A[1, 1] = (1/A[1, 1]) * A[1, 1]
A

array([[1, 0, 0],
       [0, 1, 0],
       [0, 0, 0]])

参考文献¶

線形代数Ｉ/ベクトル空間と線形写像 - 武内＠筑波大
川久保勝夫（2010）『線形代数学（新装版）』