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ベータ分布

概要

ベータ分布（beta distribution）は、区間[0,1][0, 1]上で定義される連続確率分布である。2つの形状パラメータによって非常に多様な分布形状を表現でき、確率や割合のモデリングに適している。

ベイズ統計においてベルヌーイ分布・二項分布の共役事前分布として重要な役割を果たす。

確率密度関数

f(x∣α,β)=xα−1(1−x)β−1B(α,β),0≤x≤1f(x \mid \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}, \quad 0 \leq x \leq 1
(1)

  • α>0\alpha > 0: 形状パラメータ

  • β>0\beta > 0: 形状パラメータ

ここでB(α,β)B(\alpha, \beta)はベータ関数

B(α,β)=∫01tα−1(1−t)β−1dt=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)B(\alpha, \beta) = \int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1} dt = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}
(2)

累積分布関数

F(x)=Ix(α,β)=B(x;α,β)B(α,β)F(x) = I_x(\alpha, \beta) = \frac{B(x; \alpha, \beta)}{B(\alpha, \beta)}
(3)

ここでIx(α,β)I_x(\alpha, \beta)は正則化不完全ベータ関数、B(x;α,β)=∫0xtα−1(1−t)β−1dtB(x; \alpha, \beta) = \int_0^x t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dtは不完全ベータ関数である。

期待値・分散

E[X]=αα+βE[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}
(4)
V[X]=αβ(α+β)2(α+β+1)V[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}
(5)

最頻値（α>1,β>1\alpha > 1, \beta > 1のとき）：

mode=α−1α+β−2\text{mode} = \frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2}
(6)

図

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import beta

x = np.linspace(0.001, 0.999, 300)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=[8, 3])

params = [(0.5, 0.5), (1, 1), (2, 2), (2, 5), (5, 2)]
for a, b in params:
    pdf = beta.pdf(x, a, b)
    axes[0].plot(x, pdf, label=fr"$\alpha={a}, \beta={b}$")
    cdf = beta.cdf(x, a, b)
    axes[1].plot(x, cdf, label=fr"$\alpha={a}, \beta={b}$")

axes[0].set(title="PDF", xlabel="x", ylabel="f(x)", ylim=[0, 4])
axes[0].legend(fontsize=7)
axes[1].set(title="CDF", xlabel="x", ylabel="F(x)")
axes[1].legend(fontsize=7)
fig.tight_layout()
fig.show()

性質

  • α=β=1\alpha=\beta=1のとき[0,1][0,1]上の一様分布に一致する

  • α=β\alpha=\betaのときx=0.5x=0.5に関して対称な分布になる

  • α<1,β<1\alpha < 1, \beta < 1のとき U 字型の分布になる

  • 共役事前分布: ベルヌーイ分布・二項分布の尤度に対し、ベータ分布は共役事前分布となる。すなわち事前分布Beta(α,β)\text{Beta}(\alpha, \beta)のもとでkk回の成功とn−kn-k回の失敗を観測すると、事後分布はBeta(α+k,β+n−k)\text{Beta}(\alpha+k, \beta+n-k)

  • U(0,1)U(0,1)からのnn個の標本の第kk順序統計量はBeta(k,n−k+1)\text{Beta}(k, n-k+1)に従う

  • X∼Gamma(α,θ),Y∼Gamma(β,θ)X \sim \text{Gamma}(\alpha, \theta), Y \sim \text{Gamma}(\beta, \theta)が独立ならXX+Y∼Beta(α,β)\frac{X}{X+Y} \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)

応用例

  • ベイズ統計における成功確率の事前分布・事後分布

  • A/Bテストにおけるコンバージョン率のモデリング（Thompson sampling）

  • プロジェクト管理におけるPERT（タスク完了時間の不確実性モデリング）

  • 生態学における種の比率のモデリング

参考文献

統計学
ガンマ分布
統計学
ワイブル分布