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正規分布

概要

正規分布（normal distribution）は、統計学において最も重要な連続確率分布である。ガウス分布（Gaussian distribution）とも呼ばれる。

中心極限定理により、多数の独立な確率変数の和は（元の分布の形状によらず）正規分布に近づくため、自然現象や社会現象の多くが近似的に正規分布に従う。統計的推測の多くの手法は正規分布を前提として構築されている。

確率密度関数

確率変数XXが平均μ\mu、分散σ2\sigma^2の正規分布に従うとは、XXの確率密度関数が

f(x∣μ,σ2)=12πσexp⁡{−(x−μ)22σ2},−∞<x<∞f(x \mid \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp \left\{ - \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\} , \quad -\infty < x < \infty
(1)

で与えられることをいい、この分布をN(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)で表す。

  • μ\mu: 平均（location parameter）

  • σ2\sigma^2: 分散（σ>0\sigma > 0, scale parameter）

μ=0,σ2=1\mu=0, \sigma^2=1のとき標準正規分布N(0,1)N(0,1)と呼ぶ。

累積分布関数

F(x)=Φ(x−μσ)=12[1+erf(x−μσ2)]F(x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]
(2)

ここでΦ\Phiは標準正規分布の累積分布関数、erf\text{erf}は誤差関数である。閉じた形の初等関数では表せない。

期待値・分散

E[X]=μE[X] = \mu
(3)
V[X]=σ2V[X] = \sigma^2
(4)

図

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import norm

x = np.linspace(-6, 6, 300)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=[8, 3])

params = [(0, 1), (0, 2), (0, 0.5), (2, 1)]
for mu, sigma in params:
    pdf = norm.pdf(x, loc=mu, scale=sigma)
    axes[0].plot(x, pdf, label=fr"$\mu={mu}, \sigma={sigma}$")
    cdf = norm.cdf(x, loc=mu, scale=sigma)
    axes[1].plot(x, cdf, label=fr"$\mu={mu}, \sigma={sigma}$")

axes[0].set(title="PDF", xlabel="x", ylabel="f(x)")
axes[0].legend(fontsize=8)
axes[1].set(title="CDF", xlabel="x", ylabel="F(x)")
axes[1].legend(fontsize=8)
fig.tight_layout()
fig.show()

性質

  • μ\muに関して対称な分布であり、平均=中央値=最頻値

  • 再生性: X1∼N(μ1,σ12),X2∼N(μ2,σ22)X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2), X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)が独立ならX1+X2∼N(μ1+μ2,σ12+σ22)X_1 + X_2 \sim N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)

  • 最大エントロピー性: 平均と分散を固定したとき、エントロピーを最大にする連続分布は正規分布である

  • 中心極限定理: 独立同一分布に従う確率変数の標準化された和は、元の分布に関わらず正規分布に収束する

  • 線形変換: X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)のときaX+b∼N(aμ+b,a2σ2)aX+b \sim N(a\mu+b, a^2\sigma^2)

  • 標準化: Z=X−μσ∼N(0,1)Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)

  • 指数型分布族に属する

  • 68-95-99.7 ルール: データの約68%がμ±σ\mu \pm \sigmaに、約95%がμ±2σ\mu \pm 2\sigmaに、約99.7%がμ±3σ\mu \pm 3\sigmaに含まれる

応用例

  • 測定誤差のモデリング

  • 統計的推測の基礎（t検定、信頼区間など）

  • 品質管理（管理図、工程能力指数）

  • 金融工学（ブラック-ショールズモデルにおけるリターンの分布）

  • 機械学習（ガウス過程、正規化など）

参考文献

統計学
一様分布
統計学
対数正規分布