t分布

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import t, norm

x = np.linspace(-5, 5, 300)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=[8, 3])

for df in [1, 3, 10, 30]:
    axes[0].plot(x, t.pdf(x, df=df), label=f"df={df}")
    axes[1].plot(x, t.cdf(x, df=df), label=f"df={df}")

axes[0].plot(x, norm.pdf(x), 'k--', label=r"$N(0,1)$", alpha=0.7)
axes[1].plot(x, norm.cdf(x), 'k--', label=r"$N(0,1)$", alpha=0.7)

axes[0].set(title="PDF", xlabel="x", ylabel="f(x)")
axes[0].legend(fontsize=8)
axes[1].set(title="CDF", xlabel="x", ylabel="F(x)")
axes[1].legend(fontsize=8)
fig.tight_layout()
fig.show()

性質¶

$x=0$ に関して対称な分布である
$n \to \infty$ で標準正規分布 $N(0,1)$ に収束する
$n=1$ のときコーシー分布に一致する（期待値・分散が存在しない）
正規分布よりも裾が重く、外れ値に対してロバスト
正規母集団 $N(\mu, \sigma^2)$ からの標本平均 $\bar{X}$ と標本分散 $S^2$ を用いると、 $\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{(n-1)}$

応用例¶

t検定: 母平均に関する仮説検定（1標本t検定、2標本t検定、対応のあるt検定）
母平均の信頼区間の構成（母分散未知の場合）
回帰係数の有意性検定
ベイズ統計における裾の重い事前分布としての利用

概要¶

確率密度関数¶

累積分布関数¶

期待値・分散¶

図¶

性質¶

応用例¶

参考文献¶