ガンマ分布

概要¶

ガンマ分布（gamma distribution）は非負の実数直線上の代表的な確率分布である。指数分布やカイ二乗分布を特殊ケースとして含む柔軟な分布族であり、待ち時間や生存時間のモデリング、ベイズ統計における共役事前分布として広く用いられる。

確率密度関数¶

shape-scale パラメタリゼーション¶

f(x \mid \alpha, \beta) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{1}{\beta} \left( \frac{x}{\beta} \right) ^{\alpha-1} e^{-x/\beta} , \quad x > 0

(1)

$\alpha > 0$ : shape parameter（形状パラメータ）
$\beta > 0$ : scale parameter（尺度パラメータ）

shape-rate パラメタリゼーション¶

尺度変換 $\lambda = 1/\beta$ を行った

f(x \mid \alpha, \lambda) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x} ,\quad x > 0

(2)

という定義も使われる（ $\lambda$ はrate parameterと呼ばれる）。

ガンマ関数¶

ここで $\Gamma(\alpha)$ はガンマ関数（gamma function）

\Gamma(\alpha) = \int^{\infty}_0 y^{\alpha-1} e^{-y} dy

(3)

自然数 $n$ に対して $\Gamma(n) = (n-1)!$ が成り立つ。また $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ である。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import gamma

x = np.linspace(0.1, 6, 100)
y = gamma(x)

fig, ax = plt.subplots(figsize=[4, 2.5])
ax.plot(x, y)
ax.set(title=r"Gamma function $\Gamma(\alpha)$", xlabel=r"$\alpha$", ylabel=r"$\Gamma(\alpha)$")
fig.show()

累積分布関数¶

F(x) = \frac{\gamma(\alpha, x/\beta)}{\Gamma(\alpha)}

(4)

ここで $\gamma(\alpha, x)$ は下側不完全ガンマ関数。一般に閉じた形では表せない。

期待値・分散¶

shape-scale パラメタリゼーションの場合：

E[X] = \alpha\beta

(5)

V[X] = \alpha\beta^2

(6)

shape-rate パラメタリゼーション（ $\lambda = 1/\beta$ ）の場合：

E[X] = \frac{\alpha}{\lambda}, \quad V[X] = \frac{\alpha}{\lambda^2}

(7)

図¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import gamma as gamma_dist

x = np.linspace(0, 20, 200)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=[8, 3])
for alpha in [1, 3, 5, 10]:
    pdf = gamma_dist.pdf(x, alpha)
    axes[0].plot(x, pdf, label=fr"$\alpha={alpha}, \beta=1$")
    cdf = gamma_dist.cdf(x, alpha)
    axes[1].plot(x, cdf, label=fr"$\alpha={alpha}, \beta=1$")

axes[0].set(title="PDF", xlabel="x", ylabel="f(x)")
axes[0].legend()
axes[1].set(title="CDF", xlabel="x", ylabel="F(x)")
axes[1].legend()
fig.tight_layout()
fig.show()

性質¶

$\alpha=1$ のとき指数分布 $\text{Exp}(1/\beta)$ に一致する
$\alpha=n/2, \beta=2$ のとき自由度 $n$ のカイ二乗分布に一致する
再生性: $X_1 \sim \text{Gamma}(\alpha_1, \beta), X_2 \sim \text{Gamma}(\alpha_2, \beta)$ が独立なら $X_1 + X_2 \sim \text{Gamma}(\alpha_1+\alpha_2, \beta)$
指数型分布族に属する
ポアソン分布の共役事前分布である
尺度変換 $Y = X/\beta$ を行うと、 $Y$ の分布は $\beta$ に依存しない標準形 $\frac{1}{\Gamma(\alpha)} y^{\alpha-1} e^{-y}$ となる

応用例¶

待ち時間のモデリング（ポアソン過程で $\alpha$ 個の事象が起きるまでの時間）
ベイズ統計におけるポアソン分布のrate parameterの共役事前分布
保険数理における請求額の分布
降雨量のモデリング

概要¶