カイ二乗分布

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import chi2

x = np.linspace(0, 25, 200)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=[8, 3])

for df in [1, 3, 5, 10]:
    pdf = chi2.pdf(x, df=df)
    axes[0].plot(x, pdf, label=f"df={df}")
    cdf = chi2.cdf(x, df=df)
    axes[1].plot(x, cdf, label=f"df={df}")

axes[0].set(title="PDF", xlabel="x", ylabel="f(x)")
axes[0].legend()
axes[1].set(title="CDF", xlabel="x", ylabel="F(x)")
axes[1].legend()
fig.tight_layout()
fig.show()

性質¶

ガンマ分布の特殊ケース: $\chi^2_{(n)} = \text{Gamma}(n/2, 2)$
再生性: $X_1 \sim \chi^2_{(n_1)}, X_2 \sim \chi^2_{(n_2)}$ が独立なら $X_1 + X_2 \sim \chi^2_{(n_1+n_2)}$
自由度 $n$ が大きいとき、中心極限定理により $\chi^2_{(n)}$ は近似的に $N(n, 2n)$ に従う
正規母集団 $N(\mu, \sigma^2)$ からの標本分散 $S^2$ に対して、 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(n-1)}$
$n=1$ のとき、 $\chi^2_{(1)}$ は標準正規分布の二乗と一致
$n=2$ のとき、指数分布 $\text{Exp}(1/2)$ と一致

応用例¶

カイ二乗適合度検定: 観測度数と期待度数の乖離の検定
カイ二乗独立性検定: 分割表における2変数の独立性の検定
母分散に関する推測（信頼区間の構成、仮説検定）
尤度比検定における漸近分布

概要¶

確率密度関数¶

累積分布関数¶

期待値・分散¶

図¶

性質¶

応用例¶

参考文献¶