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対数正規分布

概要

対数正規分布（lognormal distribution）は、確率変数の対数が正規分布に従う確率分布である。すなわちXXが対数正規分布に従うとき、Y=log⁡XY = \log Xは正規分布に従う。

正の値のみをとり、右に裾の長い（right-skewed）分布形状をもつ。所得分布、株価の変動率、生物の体重など、正の値をとり乗法的な効果が蓄積されるような現象のモデリングに広く用いられる。

確率密度関数

f(x∣μ,σ2)=1xσ2πexp⁡{−(log⁡x−μ)22σ2},x>0f(x \mid \mu, \sigma^2) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{(\log x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right\}, \quad x > 0
(1)

  • μ\mu: log⁡X\log Xの平均（location parameter）

  • σ>0\sigma > 0: log⁡X\log Xの標準偏差（scale parameter）

この分布をLogNormal(μ,σ2)\text{LogNormal}(\mu, \sigma^2)と表記する。

累積分布関数

F(x)=Φ(log⁡x−μσ)F(x) = \Phi\left(\frac{\log x - \mu}{\sigma}\right)
(2)

ここでΦ\Phiは標準正規分布の累積分布関数である。

期待値・分散

E[X]=exp⁡(μ+σ22)E[X] = \exp\left(\mu + \frac{\sigma^2}{2}\right)
(3)
V[X]=(eσ2−1)e2μ+σ2V[X] = \left(e^{\sigma^2} - 1\right) e^{2\mu + \sigma^2}
(4)

中央値はeμe^\muであり、期待値eμ+σ2/2e^{\mu+\sigma^2/2}より小さい。これは右に裾の長い分布形状を反映している。

図

Source
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import lognorm

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=[8, 3])

x = np.linspace(0.01, 10, 300)
params = [(0, 0.5), (0, 1.0), (0, 1.5), (1, 0.5)]
for mu, sigma in params:
    pdf = lognorm.pdf(x, s=sigma, scale=np.exp(mu))
    axes[0].plot(x, pdf, label=fr"$\mu={mu}, \sigma={sigma}$")

    cdf = lognorm.cdf(x, s=sigma, scale=np.exp(mu))
    axes[1].plot(x, cdf, label=fr"$\mu={mu}, \sigma={sigma}$")

axes[0].set(title="PDF", xlabel="x", ylabel="f(x)", ylim=[0, 1.5])
axes[0].legend(fontsize=8)
axes[1].set(title="CDF", xlabel="x", ylabel="F(x)")
axes[1].legend(fontsize=8)
fig.tight_layout()
<Figure size 800x300 with 2 Axes>

性質

  • 正規分布との関係: X∼LogNormal(μ,σ2)X \sim \text{LogNormal}(\mu, \sigma^2)のときlog⁡X∼N(μ,σ2)\log X \sim N(\mu, \sigma^2)。逆にY∼N(μ,σ2)Y \sim N(\mu, \sigma^2)のときeY∼LogNormal(μ,σ2)e^Y \sim \text{LogNormal}(\mu, \sigma^2)

  • 乗法的な中心極限定理: 多数の独立な正の確率変数の積は、対数正規分布に近似的に従う（正規分布が加法的な中心極限定理に対応するのと同様）

  • 再生性はない: 対数正規分布に従う独立な確率変数の和は対数正規分布に従わない

  • 積については閉じている: X1∼LogNormal(μ1,σ12),X2∼LogNormal(μ2,σ22)X_1 \sim \text{LogNormal}(\mu_1, \sigma_1^2), X_2 \sim \text{LogNormal}(\mu_2, \sigma_2^2)が独立ならX1X2∼LogNormal(μ1+μ2,σ12+σ22)X_1 X_2 \sim \text{LogNormal}(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)

応用例

  • 所得や資産の分布のモデリング

  • 株価のリターン（ブラック-ショールズモデルで使用）

  • 生物の体重・体長の分布

  • 環境科学における汚染物質濃度の分布

  • 回帰分析において対数変換を施した目的変数の元スケールでの分布

統計学
正規分布
統計学
指数分布