練習問題メモ 1 - データサイエンス関連+αのメモ

問1.1¶

$3 \times 2$ 行列

\left(\begin{array}{cc} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{array}\right)

の $(2,1)$ 成分、第2行、第1列をそれぞれ答えよ。

(2,1)成分→9
第2行→ $(9, 10)$
第1列→ $(7, 9, 11)^T$

問1.2¶

3 次の正方行列 A を

A=\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right)

と表す。

A の対角成分を答えよ。

対角成分： $(a_{11}, a_{22}, a_{33})$

A が対角行列、スカラー行列、上三角行列、下三角行列となるとき、A をそれぞれ具体的に表せ。

対角行列

A=\left(\begin{array}{lll} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{array}\right)

スカラー行列

A=\left(\begin{array}{lll} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{11} & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} \end{array}\right) = a_{11} I

上三角

A=\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{array}\right)

下三角

A=\left(\begin{array}{lll} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right)

問1.3¶

クロネッカーのデルタ δij (i, j = 1, 2, · · · , n) について、i, j = 1, 2, 3 のとき、δij の値を求めよ。

クロネッカーのデルタは

\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & (i = j)\\ 0 & (i \neq j) \end{cases}

なので、

\delta_{11} = \delta_{22} = \delta_{33} = 1\\ \delta_{12} = \delta_{13} = \delta_{21} = \delta_{23} = \delta_{31} = \delta_{32} = 0\\

問1.4¶

3 × 2 行列 $\left(\begin{array}{ll} 5 & 4 \\ 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$ の転置行列を求めよ。

\left(\begin{array}{ll} 5 & 3 & 1\\ 4 & 2 & 0 \end{array}\right)

問1.5¶

次の 1、2 の等式が成り立つように a, b, c の値を求めよ。

$\left(\begin{array}{ll} a^2+b^2 & a b+b c \\ a b+b c & b^2+c^2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right)$

※行列を使うとかではないらしい

a^2 + b^2 = 1\\ ab + bc = 0\\ b^2 + c^2 = 4

$ab + bc = 0 \to b(a+c)=0$

より、 $b = 0$ or $a + c = 0$ の可能性がある

ab = - bc

のため

$a+c=0$ について検討する

(a^2 + b^2) - (b^2 + c^2) = 1 - 4\\ \to a^2 - c^2 = -3\\ \to \sqrt{ a^2 - c^2 } = \sqrt{ -3 }\\ \to a - c = \sqrt{ -3 }\\ \to a = \sqrt{ -3 } + c\\ \to a + c = \sqrt{ -3 } + 2c \neq 0\\

よって $b = 0$ の可能性のみになるので、

a^2 + b^2 = a^2 = 1 \to a = \pm 1\\ b^2 + c^2 = c^2 = 4 \to c = \pm 2\\

\left(\begin{array}{ccc} a^2+b^2 & 1 & 2 a c \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 c a & 1 & b^2+c^2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 b c & 1 \\ 2 b c & c^2+a^2 & 2 a b \\ 1 & 2 a c & 1 \end{array}\right)

\begin{cases} \begin{align} a^2 + b^2 &= 1\\ b^2 + c^2 &= 1\\ c^2 + a^2 &= 1\\ 2ab &= 1\\ 2ac &= 1\\ 2bc &= 1\\ \end{align} \end{cases}

という連立方程式とする

\begin{align} (a^2 + b^2) - (b^2 + c^2) &= 1 - 1\\ \to a^2 - c^2 &= 0 \\ \to a^2 = c^2 \\ (a^2 + b^2) - (a^2 + c^2) &= 1 - 1\\ \to b^2 - c^2 &= 0 \\ \to b^2 = c^2 \\ \therefore a^2 = b^2 = c^2 \end{align}

a^2 + b^2 = 1\\ \to 2 a^2 = 1\\ \to a^2 = \frac{1}{2}\\

両辺に平方根をかけて

\sqrt{a^2} = \sqrt{\frac{1}{2}}

$a$ の符号はわからないので

|a| = \sqrt{\frac{1}{2}}

平方根を単純化する

|a| = \frac{1}{\sqrt{2}}

有理化する

|a| = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}

したがって

a = \pm \frac{ \sqrt{2} }{2}

同様に

a^2 = b^2 = c^2 = \frac{1}{2}\\ a = b = c = \pm \frac{\sqrt{2} }{2}\\

問1.6¶

A を (i, j) 成分が次の 1～4 により定められる 3 次の正方行列とする。A をそれぞれ具体的に表せ。

$a_{i j}=i+j$
$a_{i j}=i j$
$a_{i j}=(-1)^{i+j}$
$a_{i j}=(-1)^{i j}$

A=\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right)

なので

$a_{i j}=i+j$

\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 5\\ 4 & 5 & 6\\ \end{pmatrix}

$a_{i j}=i j$

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 3 & 6 & 9\\ \end{pmatrix}

$a_{i j}=(-1)^{i+j}$

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ -1 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 1\\ \end{pmatrix}

$a_{i j}=(-1)^{i j}$

\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & -1\\ \end{pmatrix}

問1.7¶

対称行列の定義を書け

転置してももとの行列と変わらない正方行列

A = A^T

次の（ア）、（イ）の行列が対象行列となるように a の値を求めよ。
$\text { (ア) }\left(\begin{array}{cc} 1 & a \\ a^2 & a^3 \end{array}\right) \quad \text { (イ) }\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ a^3 & a^4 & a^5 \\ a^6 & a^7 & a^8 \end{array}\right)$
(30)

（ア）

\left(\begin{array}{cc} 1 & a \\ a^2 & a^3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & a^2 \\ a & a^3 \end{array}\right)

で

a^2 = a\\ \to a(a-1) = 0\\

$a=0$ あるいは $a-1=0 \to a=1$

\therefore a=0, 1

（イ）

a^3 = a\\ a^6 = a^2\\ a^7 = a^5

なので

a^3 -a = 0\\ \to a (a^2 - 1) = 0\\ \to a = 0, 1, -1

問1.8¶

次の 1～3 の行列の (i, j) 成分をクロネッカーのデルタを用いて表せ。

$\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right)$

行列の $(i,j)$ 要素を $a_{ij}$ と表すことにすると

a_{ij} = i \times \delta_{ij}

$\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

a_{ij} = \delta_{(i+1), j}

$\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$

a_{ij} = \delta_{i-1, j}